立体几何公式大全

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立体几何公式大全

一、空间向量的基础公式： 数量积

向量式

rrrr

ababcos

坐标式

=x1x2y1y2z1z2 =x1x2y1y2z1z2=0

rrab

rrrra//b（b0）

rr

ab0

rr

ab（0,方向相同； =(x1,y1,z1)=(x2,y2,z2)

0,方向相反）

r

模a

rrrr

夹角（a0，b0）

二、求角和距离公式： 求异面直线a与b所成角： 求直线a与平面所成角： 二面角l的大小:

即：x1x2，y1y2，z1z2 =x1y1z1 =

2

2

2

rr2aa

rrab

cosrr

ab

x1x2y1y2z1z2

xyz

21

21

21

x2y2z2

222



rr

KP115/例1 abx1x2y1y2z1z2

JP60/例3 cosrr

222222

abx1y1z1x2y2z2rr

KP125/例1 anr

sinrr（n表示平面的法向量）

an

uruurJP69/例3(2)

设1为平面的法向量n1与平面的法向量n2

KP127/例2（2）

uruurn1n2

的夹角：则cos1uruur：求二面角步骤：

n1n2

一、瞄：瞄一下看二面角是锐角还是钝角；二、

ur

求：先求平面的法向量n1与平面的法向

uruur

uururuurn1n2量n2，而后用cos1uruur 求出n1与n2

n1n2

的夹角1；三、定：同锐相等：若是锐角，

1也是锐角，则1；同钝相等：若是锐

角，1也是锐角，则1；锐钝互补：若

.

是锐角，1也是锐角，则1801




点P到平面的距离d: 注：

1、直线l//平面，求直线l与平面的距离 d:只要在l上取一点P仍然用此公式； 2、平面//平面，求平面

uuurrAPndr

n

注：点A为平面上的任意

JP71/例2

r

一点，n为平面的法向量

与平面的距离 d:只要

在平面上取一点P仍然用此公式；

三、求法向量步骤：

rr

（1） 设法向量n(x,y,z)，利用法向量n与平面上的两相交直线方向向量垂直数量

积为0建立两个方程；

r（2） 求出x等于多少z, y等于多少z;并令z=1进而求出x,y,从而得到法向量n；

或者求出x等于多少y, z等于多少y;并令y=1进而求出x,z,从而得到法向量

rn；

或者求出y等于多少x, z等于多少x;并令x=1进而求出y,z,从而得到法向量

rn；

r

（3） 把所求的法向量n代入方程组检验！ r

四、法向量n的在证明题中用处:

rr

(1) 线面平行：l平面且lnl//平面：参见JP65/例2

（证明线面平行问题只要转成去求线的向量与法向量数量积为0即可）

uruur

(2) 面面平行：n1//n2平面//平面：参见JP65/例2

（证明面面平行问题只要转成去证两个法向量存在一个倍数关系问题即可）

rrr

(3) 线面垂直：l//nl平面：

（证明线面垂直问题只要转成求证线的向量与法向量存在一个倍数关系即可）

uruur

(4) 面面垂直：n1n2平面平面：参见JP65/例3

（证明面面垂直问题只要转成去求两法向量数量积为0即可）

（整理不易，望同学们好好珍惜利用！）

本文来源：https://www.wddqxz.cn/1b880066a6e9856a561252d380eb6294dd8822a9.html