容斥原理3

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容斥原理

脑筋急转弯:监狱里关着两名犯人,一天晚上犯人全都跑了,可是第二天看守员打开守门一看,里面还有

一个人？

内容精要：有些数学题目的所求问题，是由几个条件共同决定的。我们可以分别列出每个条件的情况，称为一个集合。用一个圈来表示，那么，这些圈的交叉重复部分就是同时满足这几个条件的公共部分，称为“交集”。

当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。这一原理，我们称为包含排除原理。也称为容斥原理。

在运用容斥原理解题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意。明白数量关系和逻辑关系。

例1：六年1班42名同学都订了报纸，订阅《数学报》的有32人，订阅《学习报》的有27人，至

少有多少人订阅了两种报纸？

分析：画出示意图，把订阅《数学报》的32人作一个集合，把订阅《学习报》的同学做一个集合，那么它们的交集就是表示两种报纸订阅人数。

从图中看出订阅《数学报》的32人，加上订阅《学习报》的27人，共有59人。这与六（1）班的共有学生数42人相比是不相等的。从图中看出来这是因为有的学生把这两种报纸都订阅了，我们在算报纸人数时，把“两种报纸都订阅的人数”多算了一次。我们把两种报纸都订的总人数减去全班人数的42人，就是两种报纸都订的人数。 解：32+27-42=17

答：至少有17人订阅了两种报纸。



例2：在1至100的整数中，能被2整除又能被3整除的数共有多少个？

分析：在图中，左椭中（①+③）表示能被2整除的数，右椭圆中（①+③）中表示能被3整除的数，那么它们的公共部分②表示既能被2整除又能被3整除的数。 于是有①+②+③=（①+②+②+③）-②

解：由100/2=50知，1至100中是2的倍数的数有50个；

由100/3=33······1知，1至100中是3的倍数的数有33个； 由100/6=16······4知，1至100中是6的倍数的数有16个； 因为50+33-16=67，所以知在1至100中是2的倍数或是3的 倍数的有67个。

例3：六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育训练班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有12人，问三项都报者有多少人？

分析：由于此题比较复杂，我们画图来理解。我们把三种活动用三个圆ABC来表示，把A∩B记为A与B的公共部分的面积，B∩C为圆B与C的公共部分的面积，A∩C表示圆A与C的公共部分的面积，X为阴影部分的面积，至少参加一项的人数为：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+X（ABC的部分被加了3次，又减了3次，所以还要加上一次）

解:设三项都报的有X人，由容斥原理有：30+25+20-10-10-12+X=45

X=2

答：三项都参加的有2人。

例4：某样六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学 有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人，老师告诉同学既参加数


学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学小组又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种都参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。

分析：根据已知条件画出右图，根据已知三圆盖住的面积为49人，A=30、B=20、C=10，A∩B=X；B∩C=Y；A∩C=3，A、B、C的公共部分记为A∩B∩C=1，根据公式可列式 49=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，即：49=30+20+10-X-Y-3+1，故X+Y=9。 故：X+Y=9

由于X、Y都是质数，而它们的和为奇数9，因而这个质数中必有一个偶质数2，另外由X+Y=9知 另一个质数为7。 答：既参加英语，

又参加数学

小组的人数为2个或7个。

例5:在1到1000的一千个自然数中，既不是4的倍数，也不是6的倍数共有多少个？

分析：看到这道题，有人这样思考，1000中减去4的倍数的个数和6的倍数的个数，应该说剩下的个数就是既不是4的倍数，也不是6的倍数了。但这样理解就错了。因为你重复减了一些数。例如：12这个数，它既是4的倍数，又是6的倍数，那么12就被减去2次，所以应再加上一组这样的数。 解：1000/4=25。所1——1000中4的倍数有250个。

1000/6=166······4，所以1到1000中6的倍数有166个。

1000/[4、6]，说明1——1000中既是4的倍数，又是6的倍数的数共有250+166-83=327（个） 那么既不是4的倍数，又不是6的倍数的数共有1000-327=673（个）

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