对一道数学题理解

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对一道数学题的展开

赖友志

在数学复习教学中，选好一道例题。通过一题多思，一题多解，一题多讲。可以巩固学生知识，训练学生思维，开拓学生视野。

例题：已知ｘ，ｙ∈Ｒ＋且法一：均值不等式法

x,yR

19

1

xy

1

x

9

1，求ｘ＋ｙ的最小值。 y

6xy

⑴

19

（当且仅当即y9x时取等号）

xy

xy6

xy

⑵⑶

又xy2



(当且仅当xy时取等号）

xy12

xy的最小值是12

此题答案有误。因为⑴，⑵式的等号不能同时成立，所以⑶式等号不能取。但事实上推导过程无误，只不过扩大了ｘ＋ｙ的范围。此种推导在选择题时，其选择项若是6，8，12，16，当可排除6，8，12得16。

1


此法作为例子强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。 法2，1的妙用

191xy

19y9x

xy(xy)()1016

xyxy



y9x

当且仅当时即x4,y12时取等号xy

111

又如a,b,cR,abc1,求证（1)(1)(1)8

abc

111

再如a,b,c是不等正数且abc1,求证abc

abc

法3，构造x+y不等式法

19xy102由1得（x1)(y9)9()可得 xy2

变式：已知x+xy+4y=5 （x,y∈R＋）求xy取值范围 法4，换元后构造均值不等式法

199由1得y9(x1)xyx1

9

所以xyx9

x19

10x1

x1

16

9

(当且仅当x1即x4时取等号）

x1

2


法5，用判别式法

199x由1得y(x1)xyx1

9xx28x令xyz,则zx

x1x1

得关于x的二次方程x2(8z)xz0

z8(8z)24z

可由△(8z)4z0且0

2

解得z的范围从而得到xy的最小值。

2



注意实根分布情况讨论。

类似地，如2x+y=6,求的范围也可用判别式法。 法6，三角代换法

令

19

(cos)2,(sin)2,xy

1

x

1y



2

则xy(sec）＋（9csc)210(tan)29(cot)216

a2b2变：00,b>0，则的最小值

x1x

法7，导数法

9

(x1),z0中，x4

x1

(在区间内有一个极值点，此极值必为最值)zx9

以上所涉及到的方法都是学生应掌握的。通过一道例题讲解即可复习多种方法。

2005年1月

3

本文来源：https://www.wddqxz.cn/198c5ffd770bf78a652954ab.html