八年级上册集合压轴题与答案

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压轴题训练

1、如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，过点A作射线AE，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BG⊥AE于点G，连接FD并延长，交BG于点H （1）求证：DF=DH；

（2）若∠CFD=120°，求证：△DHG为等边三角形．


2、已知两等边△ABC，△DEC有公共的顶点C。

（1）如图①，当D在AC上，E在BC上时，AD与BE之间的数量关系为______________________；

（2）如图②，当B、C、D共线时，连接AD、BE交于M，连接CM，线段BM与线段AM、

CM之间有何数量关系？试说明理由；

（3）如图③，当B、C、D不共线时，线段BM与线段AM、CM之间的数量关系是_________________。

（不要求证明）。






3、在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF． （1）若AB=AC，∠BAC=90°那么

①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________( 直接写出结论)

图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． （2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．


4、如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF． （1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系； （3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF= 1/2∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．








答案

1、全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．

分析：（1）首先证明∠1=∠2，再证明△DCF≌△DBH即可得到DF=DH；

（2）首先根据角的和差关系可以计算出∠GFH=30°，再由∠BGM=90°可得∠GHD=60°，再根据直角三角形的性质可得，HG=解答：证明：（1）∵CF⊥AE，BG⊥AE， ∴∠BGF=∠CFG=90°， ∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME， ∵∠GMB=∠CME， ∴∠1=∠2，

∵点D为边BC的中点， ∴DB=CD，

在△BHD和△CED中，

1

HF，进而得到结论． 2



∠1＝∠2

DB＝CD ∠3＝∠4

∴△BHD≌△CED（ASA）， ∴DF=DH；

（2）∵∠CFD=120°，∠CFG=90°， ∴∠GFH=30°， ∵∠BGM=90°， ∴∠GHD=60°，

∵△HGF是直角三角形，HD=DF， ∴HG=

1

HF=DH 2

∴△DHG为等边三角形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是掌握全等三角形的判定定理．






2、解：（1）AD=BE （2）BM=AM+CM

理由：在BM上截取BM′=AM，连接CM′ ∵△ABC、△CED均为等边三角形， ∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60° ∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE即

∠BCE=∠ACD ∴在△BCE和△ACD中 AC=BC

∠BCE=∠ACD CE=CD

∴△BCE≌△ACD（SAS）

∴∠1=∠2 ∴在△BM′C和△AMC中 BM′=AM ∠1=∠2 BC=AC

∴△BM′C≌△AMC（SAS）

∴∠3=∠4，CM= CM′ ∵∠ACB＝∠3＋∠5=60°

∴∠4＋∠5=60°即∠MM′C=60° ∴△MM′C为等边三角形 ∴CM= MM′

∴BM=B M′+M M′=AM+CM （3）BM=AM+CM 3、














4、

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