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教版高一数学必修一知 点
【一】
一、集合及其表示 1、集合的含 :
“集合 ” 个 首先 我 想到的是上体育 或者开会 老 常喊的
上的 “集合 ”和 个意思是一 的,只不 一个是 一个是名 而已。
所以集合的含 是: 称 个集合的元素。
2、集合的表示
通常用大写字母表示集合,用小写字母表示元素,如集合
集合 A 中的元素, 作
a∈ A,相反, d 不属于集合
N* 或 N+
有一些特殊的集合需要 :
非 整数集 (即自然数集 )N 正整数集 整数集 Z 有理数集 Q 数集 R 集合的表示方法:列 法与描述法。 ① 列 法: {a,b,c ⋯⋯}
② 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来。如 {(x,y)|y=x2+1}
③ 言描述法:例:
{不是直角三角形的三角形
}
“全体集合 ”。数学 称集, 其中每一个
每一个同学就
某些指定的 象集在一起就成 一个集合,
象叫元素。 比如高一二班集合, 那么所有高一二班的同学就构成了一个集合,
A={a, b ,c}。 a、 b、 c 就是
A, 作 dA 。
{xR|x-3>2},{x|x-3>2} ,
例:不等式 x-3>2 的解集是 {xR|x-3>2} 或 {x|x-3>2} :描述法表示集合 注意集合的代表元素
A={(x,y)|y=x2+3x+2} 与 B={y|y=x2+3x+2} 不同。 集合 A 中是数 元素
(x,y),集合 B 中只有
元素 y。
3、集合的三个特性 (1)无序性
指集合中的元素排列没有 序,如集合 例 :集合 解:,A=B 注意: 有两 解。 (2)互异性
指集合中的元素不能重复, (3)确定性
集合的确定性是指 成集合的元素的性 必 明确,
况。
二、集合 的基本关系
1.子集, A 包含于 B, :,有两种可能 (1)A 是 B 的一部分,
(2)A 与 B 是同一集合, A=B, A、B 两集合中元素都相同。 反之 :集合 A 不包含于集合 B, 作。
如:集合 A={1,2,3} ,B={1,2,3,4}, C={1,2,3,4},三个集合的关系可以表示 ,
C 的子集,同 BA)
A 也是 C 的真子集。
A 是集合 B 的真子集, 作 AB(或
2.真子集 :如果 AB, 且 AB 那就 集合
,B=C。 A 是
不允 有模棱两可、
含混不清的情
A={1,2},集合 B={2,1}, 集合 A=B。
A={1,2},B={a,b},若 A=B,求 a、 b 的 。
A={2,2}只能表示
{2}
3、不含任何元素的集合叫做空集,记为 4、有 n 个元素的集合,含有
Φ。 Φ
是任何集合的子集。
2n 个子集, 2n-1 个真子集,含有 2n-2 个非空真子集。如
A={1,2,3,4,5},则集合 A 有 25=32 个子集, 25-1=31 个真子集, 25-2=30 个非空真子集。
例:集合共有个子集。
(13 年高考第 4 题,简单 )
B 集合有多少个
练习: A={1,2,3},B={1,2,3,4},请问 A 集合有多少个子集,并写出子集,
非空真子集,并将其写出来。
解析:
集合 A 有 3 个元素,所以有 1 个元素的子集 {1,2,3}。
集合 B 有 4 个元素,所以有
{1}{2}{3};
23=8 个子集。分别为: ① 不含任何元素的子集 Φ; ②含有
含③有两个元素的子集 {1,2}{1,3}{2,3};
含有④三个元素的子集
24-2=14 个非空真子集。具体的子集自己写出来。
此处这么罗嗦主要是为了让同学们注意写的顺序,数学就是要讲究严谨性和逻辑性的。
一定要养成自己的逻辑习惯。 如果就是为了提高计算能力倒不如直接去菜场卖菜算了, 能飞速提高的,那学数学也没什么必要了。
三、交集、并集、补集
这个是高考的重点,但是一般题目较简单。 1.交集:
即 A∩B={x|x∈A,且 x∈ B}.
如集合 A={1,2,3} ,集合 B={2,3,4},则 A∩B={2,3}。 例:已知集合则 (11 年高考第 1 题,简单 ) 练习:
(2014 北京 )已知集合,则 () 答案: C
解析:,所以 {0,2} 2、并集
绝对
由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集 .记作 A∩B(读作 "A 交 B"),
由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的并集。 记作:A∪B(读
作"A 并 B") ,即 A∪B={x|x ∈A,或 x∈ B}.
如集合 A={1,2,3} ,集合 B={2,3,4},则 A∪ B={1,2,3,4}. 例:已知集合, ,则 .(12 年高考第 1 题,简单 ) 答案: {1,2,4,6} 3、全集与补集
(1)补集:设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集, 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,
叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集 )
记作: CSA即 CSA={xxS 且 xA}
(2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。
【二】
1. “包含 ”关系 —子集
注意:有两种可能 (1)A 是 B 的一部分, ;(2)A 与 B 是同一集合。 反之 :集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2. “相等 ”关系: A=B(5≥5,且 5≤5 ,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0}B={- 1,1} “元素相同则两集合相等 ” 即: ① 任何一个集合是它本身的子集。 AA
② 真子集 :如果 AB, 且 AB 那就说集合 BA)
③ 如果 AB,BC,那么 AC ④ 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为 有 n 个元素的集合,含有 【三】
知识点 1.集合与元素
一个东西是集合还是元素并不是绝对的,
合,元素是组成集合的元素。例如:
Φ
A 是集合 B 的真子集,记作 AB(或
规定 :空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
2n 个子集, 2n-1 个真子集
很多情况下是相对的, 集合是由元素组成的集
; 而整个学校又是由许许多多个
班级相对于你是集合,相
你所在的班级是一个集合,是由几十个和你同龄的同学
组成的集合,你相对于这个班级集合来说,是它的一个元素
班级组成的集合,你所在的班级只是其中的一分子,是一个元素。
知识点 2.解集合问题的关键
解集合问题的关键: 弄清集合是由哪些元素所构成的,
对于学校是元素,参照物不同,得到的结论也不同,可见,是集合还是元素,并不是绝对的
也就是将抽象问题具体化、
形象
化,将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示, 或用韦恩图来表示抽象的集合, 或用图形来表示集合, 比如用数轴来表示集合, 或是集合的元素为有序实数对时, 可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等
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