典型例题：数学归纳法证明不等式

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数学归纳法证明不等式

【典型例题】

例1 求证：

1115,n2,nN． n1n23n6

分析：该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤.用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．

11115

证明：（1）当n=2时，右边=，不等式成立．

34566

1115. （2）假设当nkn2,nN时命题成立，即

k1k23k6

则当nk1时，

111111



(k1)1(k1)23k3k13k23(k1)1111111()k1k23k3k13k23k3k151111()63k13k23k3k151111()63k33k33k3k15115(3).

3k3k16 6

所以则当nk1时，不等式也成立．

由（1），（2）可知，原不等式对一切n2,nN均成立．

点评：本题在由nk到nk1时的推证过程中，（1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由nk到nk1时不等式左端项数的增减情况；（2）应用了放缩技巧：

11111111

3.3k13k23k33k33k33k33k3k1

例2 用数学归纳法证明：1

1123



1

nn1,nN*. n

1 / 3




证明：⑴当n2时，左边1

1212右边，

22

11

23



1

k, k

⑵假设nkk1时，命题成立，即1

1123

则当nk1时，左边1右边k1

111

k

kk1k1

1k2kk

而kk10.

k1k1所以左边k

1

k1右边，即nk1时不等式成立。 k1

由⑴⑵知原不等式对一切n1,nN*均成立。

例3 求证：1

n1111

1nn 22322

1

，原不等式成立 2

证明：（1）当n=1时，f(1)1

（2）设n=kkN时，原不等式成立 即1

k1111

1kk成立，当n=k+1时， 22322

111k111

1

22k12k22k12k22k12k1

k111k1k1

1k1k1k111

2222222fk1fk

共2k项

1111111

k2k12k22k122k12k22k1

1111

kkkk

2212121fk1fk

共2k项

fk1

1

k1 即n=k+1时，命题成立 2

2 / 3

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