3.1.2(一)指数函数教案

2022-12-15 07:05:15   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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指数函数,教案,3.1


3.1.2 指数函数()

学习要求】

1.了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念; 2.掌握指数函数的图象及性质;

3.初步学会运用指数函数来解决问题. 【学法指导】

通过了解指数函数的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系;通过展示函数图象,用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 填一填:知识要点、记下疑难点

1.指数函数的定义:一般地,函数 yax (a>0,a≠1,xR)叫做指数函数. 2.指数函数yax (a>0,a≠1)的图象过定点 (0,1).

3.指数函数yax (a>0,a≠1,xR),a>1,(∞,∞)上是单调增函数0时在(∞,∞)上是单调减函数. 研一研:问题探究、课堂更高效

[问题情境]印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人.这位聪明的大臣说:“陛下,请你在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,在第三个小格内给四粒,照这样下去,每一小格内都比前一小格加一倍. 直到摆满棋盘上64”,国王说:“你的要求不高,会如愿以偿的”.于是,下令把一袋麦子拿到宝座前,计算麦粒的工作开始了.还没到第二十小格,袋子已经空了,一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来,但是,麦粒数一格接一格地增长得那样迅速,很快看出,即使拿出来全印度的粮食,国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言.想一想,共需要多少粒麦子? 探究点一 指数函数的概念

问题1某种细胞分裂时,1个分裂成2,2个分裂成4,4个分裂成8,…,一个细胞分裂x次后,得到细胞的个数y,yx的函数关系是什么呢? 答:x0,y1;x1,y2;x2,y24;x3,y22×28,…,y2x.

问题2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过1年剩留的质量约是原来的84%.这种物质的剩留量随时间(:)变化的函数关系是怎样的?

答:设最初的质量为1,时间变化量用x表示,剩留量用y表示,则经过x,y0.84x.

问题3 在上述两问题关系式中,如果用字母a代替20.84,那么以上两个函数的解析式都可以表示成什么形式? 答:表示成yax的形式.

小结:指数函数的定义:一般地,函数yax (a>0,a≠1,xR)叫做指数函数. 问题4 指数函数的定义中为什么规定了a>0a≠1?

答:将a如数轴所示分为:a<0,a0,01a>1五部分进行讨论:

11

(1)如果a<0,比如y(4)x,这时对于x,x,在实数范围内函数值不存在;

42

x

x>0时,a0

(2)如果a0, x

x≤0时,a无意义;

(3)如果a1,y1x1,是个常值函数,没有研究的必要; (4)如果0a>1a>0a≠1,x可以是任意实数. 1 在下列的关系式中,哪些是指数函数,为什么?



(1)y2x2; (2)y(2)x; (3)y=-2x; (4)yπx; (5)yx2; (6)y(a1)x(a>1,a≠2). 解:只有(4),(6)是指数函数,因为它们满足指数函数的定义;(1)中解析式可变形为y2x·222x,不满足指数函数的形;(2)中底数为负,所以不是;(3)中解析式多一负号,所以不是;(5)中指数为常数,所以不是;(6)中令ba1,ybx,b>0b≠1,所以是.

小结:根据指数函数的定义, a是一个常数,ax的系数为1,a0,a≠1.指数位置是x,其系数也为1,凡是不符合这些要求的都不是指数函数.

跟踪训练1 指出下列函数哪些是指数函数:

1

a>,且a≠1. (1)y4x; (2)yx4; (3)y(4)x; (4)yxx; (5)y(2a1)x2

解:(1)(5)为指数函数; (2)自变量在底数上,所以不是; (3)底数-4<0,所以不是; (4)底数x不是常数,所以不是. 探究点二 指数函数的图象与性质

导引为了研究指数函数的图象,我们来看下面两组指数函数的图象,

1xx1x的图象. 第一组y2x,y的图象;第二组y3,y23

问题1 图象分别在哪几个象限?这说明了什么? 答:图象分布在第一、二象限,说明值域为{y|y>0}.

问题2 图象有什么特征?猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系?对应的函数的单调性如何?

答:它们的图象都在x轴上方,向上无限伸展,向下无限接近于x;当底数大于1时图象上升,为增函数;当底数大于0



1 / 3






小于1时图象下降,为减函数.

问题3 图象过哪些特殊的点?这与底数的大小有关系吗? 答:不论底数a>1还是0图象都过定点(0,1).

1x1x的图象? 问题4 函数图象有什么关系?可否利用y2xy3x的图象画出yy23

1xx1x的图象也关于y轴对称.所以能利用y2x

答:通过图象看出y2xy的图象关于y轴对称,y3y23

1x1x的图象. y3x的图象通过对称性画出yy23

问题5 你能根据具体函数的图象抽象出指数函数yax的哪些性质?(定义域、值域、特殊点、单调性、最大()值、奇偶性)

答:定义域为R,值域为{y|y>0},(0,1),a>1时为增函数,0时为减函数,没有最值,既不是奇函数也不是偶函数. 小结:指数函数的图象与性质:

a>1 0

图象



(1)定义域:R

(2)值域:(0,∞)

(3)过点(0,1),x0,y1

(4)R上是增函数



性质

(4)R上是减函数

2 已知指数函数f(x)ax(a>0a≠1)的图象过点(3,π),f(0),f(1),f(3)的值. 解:将点(3,π),代入f(x)a,得到f(3)π,aπ,解得:aπ3 ,于是f(x)π3,

13

所以f(0)π01,f(1)π π,f(3)π1.

π

小结:要求指数函数f(x)ax(a>0a≠1)的解析式,只需要求出a的值,要求a的值,只需一个已知条件即可. 跟踪训练2 已知指数函数y(2b3)ax经过点(1,2),a,b的值.

解:由于函数y(2b3)ax是指数函数,所以2b31,b2.将点(1,2)代入yax,a2. 3 求下列函数的定义域与值域:

2|x|1xx1

(1)y2;(2)y;(3)y421. 3x4解:(1)x4≠0,x≠4. ∴定义域为{x|xR,x≠4}.

1≠0, x4112≠1,y2的值域为{y|y>0,y≠1}. x4x4

2|x|3|x|30

2|x|的值域为{y|y≥1}. (2)定义域为xR.|x|≥0,y1,y3223

(3)定义域为xR.



y4x2x11(2x)22x1(2x1)2,



2x>0,y>1.y4x2x11的值域为{y|y>1}.

小结:函数yaf(x)(a>0a≠1)与函数f(x)的定义域相同.求与指数函数有关的函数的值域时,要利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.

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x

3

1

x


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