3.1.2(一)指数函数教案

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3.1.2 指数函数(一)

【学习要求】

1.了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念; 2.掌握指数函数的图象及性质;

3.初步学会运用指数函数来解决问题. 【学法指导】

通过了解指数函数的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系;通过展示函数图象,用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 填一填：知识要点、记下疑难点

1.指数函数的定义:一般地,函数 y＝ax (a>0,a≠1,x∈R)叫做指数函数. 2.指数函数y＝ax (a>0,a≠1)的图象过定点 (0,1).

3.指数函数y＝ax (a>0,a≠1,x∈R),当a>1时,在(－∞,＋∞)上是单调增函数当0时在(－∞,＋∞)上是单调减函数. 研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境]印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人.这位聪明的大臣说:“陛下,请你在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,在第三个小格内给四粒,照这样下去,每一小格内都比前一小格加一倍. 直到摆满棋盘上64格”,国王说:“你的要求不高,会如愿以偿的”.于是,下令把一袋麦子拿到宝座前,计算麦粒的工作开始了.还没到第二十小格,袋子已经空了,一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来,但是,麦粒数一格接一格地增长得那样迅速,很快看出,即使拿出来全印度的粮食,国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言.想一想,共需要多少粒麦子？ 探究点一 指数函数的概念

问题1某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,…,一个细胞分裂x次后,得到细胞的个数为y,则y与x的函数关系是什么呢？ 答：x＝0,y＝1;x＝1,y＝2;x＝2,y＝2×2＝4;x＝3,y＝22×2＝8,…,y＝2x.

问题2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过1年剩留的质量约是原来的84%.这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系是怎样的？

答：设最初的质量为1,时间变化量用x表示,剩留量用y表示,则经过x年,y＝0.84x.

问题3 在上述两问题关系式中,如果用字母a代替2和0.84,那么以上两个函数的解析式都可以表示成什么形式？ 答：表示成y＝ax的形式.

小结：指数函数的定义:一般地,函数y＝ax (a>0,a≠1,x∈R)叫做指数函数. 问题4 指数函数的定义中为什么规定了a>0且a≠1?

答：将a如数轴所示分为:a<0,a＝0,0＝1和a>1五部分进行讨论:

11

(1)如果a<0,比如y＝(－4)x,这时对于x＝,x＝等,在实数范围内函数值不存在;

42

x

当x>0时，a＝0，

(2)如果a＝0, x

当x≤0时，a无意义；

(3)如果a＝1,y＝1x＝1,是个常值函数,没有研究的必要; (4)如果0或a>1即a>0且a≠1,x可以是任意实数. 例1 在下列的关系式中,哪些是指数函数,为什么？

＋

(1)y＝2x2; (2)y＝(－2)x; (3)y＝－2x; (4)y＝πx; (5)y＝x2; (6)y＝(a－1)x(a>1,且a≠2). 解：只有(4),(6)是指数函数,因为它们满足指数函数的定义;(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x,不满足指数函数的形式;(2)中底数为负,所以不是;(3)中解析式多一负号,所以不是;(5)中指数为常数,所以不是;(6)中令b＝a－1,则y＝bx,b>0且b≠1,所以是.

小结：根据指数函数的定义, a是一个常数,ax的系数为1,且a＞0,a≠1.指数位置是x,其系数也为1,凡是不符合这些要求的都不是指数函数.

跟踪训练1 指出下列函数哪些是指数函数:

1

a>，且a≠1. (1)y＝4x; (2)y＝x4; (3)y＝(－4)x; (4)y＝xx; (5)y＝(2a－1)x2

解：(1)、(5)为指数函数; (2)自变量在底数上,所以不是; (3)底数－4<0,所以不是; (4)底数x不是常数,所以不是. 探究点二 指数函数的图象与性质

导引为了研究指数函数的图象,我们来看下面两组指数函数的图象,

1xx1x的图象. 第一组y＝2x,y＝的图象;第二组y＝3,y＝23

问题1 图象分别在哪几个象限？这说明了什么？ 答：图象分布在第一、二象限,说明值域为{y|y>0}.

问题2 图象有什么特征？猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？

答：它们的图象都在x轴上方,向上无限伸展,向下无限接近于x轴;当底数大于1时图象上升,为增函数;当底数大于0



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小于1时图象下降,为减函数.

问题3 图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？ 答：不论底数a>1还是0图象都过定点(0,1).

1x1x的图象？ 问题4 函数图象有什么关系？可否利用y＝2x或y＝3x的图象画出y＝或y＝23

1xx1x的图象也关于y轴对称.所以能利用y＝2x

答：通过图象看出y＝2x与y＝的图象关于y轴对称,y＝3与y＝23

1x1x的图象. 或y＝3x的图象通过对称性画出y＝或y＝23

问题5 你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y＝ax的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)

答：定义域为R,值域为{y|y>0},过(0,1)点,a>1时为增函数,0时为减函数,没有最值,既不是奇函数也不是偶函数. 小结：指数函数的图象与性质:

a>1 0

图象



(1)定义域:R

(2)值域:(0,＋∞)

(3)过点(0,1),即x＝0时,y＝1

(4)在R上是增函数



性质

(4)在R上是减函数

例2 已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象过点(3,π),求f(0),f(1),f(－3)的值. 解：将点(3,π),代入f(x)＝a,得到f(3)＝π,即a＝π,解得:a＝π3 ,于是f(x)＝π3,

13－

所以f(0)＝π0＝1,f(1)＝π ＝π,f(－3)＝π1＝.

π

小结：要求指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的解析式,只需要求出a的值,要求a的值,只需一个已知条件即可. 跟踪训练2 已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2),求a,b的值.

解：由于函数y＝(2b－3)ax是指数函数,所以2b－3＝1,即b＝2.将点(1,2)代入y＝ax,得a＝2. 例3 求下列函数的定义域与值域:

2－|x|1xx＋1

(1)y＝2;(2)y＝;(3)y＝4＋2＋1. 3x－4解：(1)令x－4≠0,得x≠4. ∴定义域为{x|x∈R,且x≠4}.

1∵≠0, x－411∴2≠1,∴y＝2的值域为{y|y>0,且y≠1}. x－4x－4

2－|x|3|x|30

2－|x|的值域为{y|y≥1}. (2)定义域为x∈R.∵|x|≥0,∴y＝＝≥＝1,故y＝3223

(3)定义域为x∈R.

＋

由y＝4x＋2x1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2,

＋

且2x>0,∴y>1.故y＝4x＋2x1＋1的值域为{y|y>1}.

小结：函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.求与指数函数有关的函数的值域时,要利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.

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x

3

1

x

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