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第28届IMO
1. 设 pn(k) 是集合{1, 2, 3, ... , n} 上具有 k 个固定点的排列的个数，求证 k从 0 到 n 对(k pn(k) )的求和是 n!。
[一个集合S的一个排列是从S到它自身的一一映射。元素 i 称为是 f 固定点如果 f(i) = i。]
2. 锐交三角形ABC 的内角A的角平分线交BC于 L，交ABC的外接圆于 N，从 L 点向 AB,AC做垂线，垂足分别是 K、M，求证四边形 AKNM的面积与三角形ABC的面积相等。
3. x1, x2, ... , xn 是实数并且满足x12 + x22 + ... + xn2 = 1，求证对每个正整数k >= 2存在不全为0的整数a1, a2, ... , an，使得对每个 i有|ai| <= k - 1 及
|a1x1 + a2x2 + ... + anxn| <= (k - 1)√n/(kn-1)。
4. 求证不存在从非负整数到非负整数的函数 f满足对所有n有 f(f(n)) = n + 1987 成立。
5. n是大于或等于3的整数，求证存在一个由平面上n个点构成的集合满足任何两点的距离都是无理数并且任何三点构成一个面积为有理数的非退化的三角形。
6. n是大于或等于2的整数，如果对所有0<=k<=√n/3都有k2 + k + n 是素数，则 当0<=k<=n-2时，k2 + k + n 都是素数。
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2022-03-21
