【教学随笔】把握古典概型的特征

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把握古典概型的特征



古典概型具有以下两个特征：

⑴样本空间的元素（即基本事件）只有有限个； ⑵每个基本事件出现的可能性是相等的．

在古典概型的情况下，事件A的概率定义为．

在计算古典概率时，首先要弄清随机事件是什么，即判断是否满足有限性和等可能性，其次要弄清样本空间是怎样构成的，构成样本空间的每个基本事件出现一定要等可能的．忽略了这一点，就会导致错误的结果．

例1．判下列试验中事件A发生的概度是否是古典概型．

(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率,你认为这是古典概型吗？

(2)某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，求恰有两次投中的概率，你认为这是古典概型吗？

(3)如图，向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?

(4)如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？





解：(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；

(2)其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不是古典概型；

(3)不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件；

(4)不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件．

例2．单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考差的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生不会做，他随机的选择一个答案，求他答对的概率．你认为这是古典概型吗？

分析：解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型．如果考生掌握或者掌握了部分考察内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以看作古典概型．

解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是选择A，B，C，D的可能性是相等的．从而由古典概型的概率计算公式得：



例3．掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．

错解：掷两枚骰子出现的点数之和不同情况为{2，3，4，…，12}，故共有11种基本事件，所以概率为P=．

错解剖析：以上11种事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，


5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P=．

评注：我们经常见的错例还有“投掷两枚硬币的结果”，划分基本事件“两正、一正一反、两反”，其中“一正一反”与“两正”、“两反”的机会是不均等．

例4．甲、乙、丙、丁4个人分乘两辆车，每辆车乘两人，求甲、乙同车的概率． 错解：坐车的情况可视为甲、乙同在1号车，甲、乙同在2号车，甲在1号车乙在2号车，甲在2号车乙在1号车，这四种结果．因此甲、乙同车的概率为．

错解剖析：上述的四种情况并非等可能的．甲在1号车乙在2号车包含了两个基本事件（甲丙在1号车乙丁在2号车和甲丁在1号车乙丙在2号车），同样甲在2号车乙在1号车也包括了两个基本事件，因此基本事件的个数为6，而不是4．

正解：四人分成两辆车的可能情况共有甲、乙同在1号车，甲、乙同在2号车，甲丙在1号车乙丁在2号车，甲丁在1号车乙丙在2号车，甲丙在2号车乙丁在1号车，甲丁在2号车乙丙在1号车，因此甲、乙同车的概率为．

例5．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，而且是等可能的即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]，

事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==． 评注：利用古典概型的计算公式时应注意两点：(1)所有的基本事件必须是不相容的；(2)K为事件A所包含的基本事件数，求K值时，要做到不重不漏．

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