幂的运算

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幂的运算

1、什么是幂

幂指乘方运算的结果.

其中,n称为nm指将n自乘m次.把nm看作乘方的结果,叫做n的m次幂。底,m称为指数（写成上标）。

由幂的定义可以看出幂是乘方运算的结果而不是运算的过程。

（注共m个n相乘）即起始值1（乘nm的亦可视为1×n×n×n...×n

法的单位元）乘底数的指数次幂。这样定义了后,很易想到如何一般指数

为0和负数的情况︰

除了0之外所有数的零次方都是1,即n0=1（n≠0）；

指数为负数的幂定义为nm分数为指数的幂定义为an

m

=

n

1nm

；

=

am。

2、幂的运算 2.1、幂的运算公式

同底数幂的乘法am×an=a(mn) 幂的乘方：(am)n=amn

同指数幂的乘法：(ab)m=am×bm 同底数幂相除：am÷an=a(mn) (a≠0) 这些公式也可以这样用：

a(mn)= am×an amn=(am)n am×bm=(ab)m a(mn)= am÷an (a≠0)

2.2幂的运算公式的运用

运用幂的运算公式前应先知道这些公式是怎么得来的，观察幂的运算公式有什么特点，这样才能更好的运用公式。

幂的运算公式都是由幂的定义推导而来，是为了方便特殊情况幂的运算。


2.2.1幂的运算公式推导

2.2.1.1同底数幂的乘法am×an=a(mn)

因为：a由幂的定义为a×a×a×...a(m个a相乘）；

an由幂的定义为a×a×a×...a(n个a相乘）；

am×an由幂的定义为｛a×a×a×...a(m个a相乘）｝×｛a×a×a×...a(n

m

个a相乘）}为m+n个a相乘即a(mn)； 所以：am×an=a(mn)

mn(a)=amn 2.2.1.2幂的乘方：

因为：(am)n由幂的定义为am×am×am...×am(n个am相乘） 其中a由幂的定义为a×a×a×...a(m个a相乘）

即(am)n由幂的定义也可以为｛a×a×a×...a(m个a相乘）}×｛a×a×a×...a(m个a相乘）}×｛a×a×a×...a(m个a相乘）}×...｛a×a×a×...a(m个a

相乘）}(注：共n个｛a×a×a×...a(m个a相乘）}）

mn

所以：(a)=a

mmm(ab)2.2.1.3同指数幂的乘法：=a×b mn

m

因为：(ab)m由幂的定义为(a×b)×(a×b)×(a×b)×...×(a×b)(共m个a×b相乘）=a×b×a×b×a×b×...×a×b(共m个a×b相乘）=a×a×a

×...a(共m各a相乘）×b×b×b×...b(共m各a相乘) 所以：(ab)m=am×bm

2.2.1.4同底数幂相除：am÷an=a(mn) (a≠0) 因为：当a=0时an意义；

当a≠0时，am÷an由幂的定义为｛a×a×a×...a(m个a相乘）}÷｛a×a×a×...a(n个a相乘）} 所以：am÷an=a(mn) (a≠0) 2.2.2幂的运算公式运用选择

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