三角形的内心、外心、垂心

2022-03-21 01:33:29 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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外心,三角形,内心
一、三角形内心

（一）定义

在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,

（二）三角形内心的性质：

设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 2、∠BIC=90°+A/2．

3、如图在RT△ABC中，∠A=90°△内切圆切BC于D则S△ABC=BD*CD 4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．

5、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是： (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．

6、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．

7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．

8、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a

+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。 10、（内角平分线定理）

△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

（三）三角形内接圆半径

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 2、在RT△ABC中，∠C=90°，r=ab/a+b+c

3任意△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC （C为周长）

二、三角形外心

（一）定义

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．

三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上

（二）三角形外心的性质：

设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；

（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；（3）钝角三角形的外心在三角形外. 性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A). 性质3：∠GAC+∠B=90°

证明：如图所示延长AG与圆交与P ∵A、C、B、P四点共圆 ∴∠P=∠B

∵∠P+∠GAC=90° ∴∠GAC+∠B=90°

性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

（1）向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).

或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 性质5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。

性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件 (向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.

（三）外心的求法

设三角形三边及其对角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C 正弦定理有r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）

r=abc/（4S△ABC）

三、三角形重心

（一）定义

三角形重心是三角形三边中线的交点。

注：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.

（二）三角形重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

证明一

三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。过E作EH平行BF。

AE=BE推出AH=HF=1/2AF AF=CF

推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明二

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）证明方法：

设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2

=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2

=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时

上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；

空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6。在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0 ，则M点为△ABC的重心，反之也成立。

（三）重心顺口溜

三条中线必相交，交点位置真奇妙，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，线段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．