与菱形有关的计算题例析

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利用菱形性质计算

甘肃 陈国玉

菱形的性质有：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直、平分，每一条对角线平分一组对角。利用菱形的这些性质，可以求菱形的周长、对角线、内角的度数、面积、高等。 一、求周长

例1 如图1，在菱形ABCD中，∠A:∠ABC=1:5，高BE为8cm，求此菱形的周长。 解析：设∠A=x0，则∠ABC=5x0

根据菱形的邻角互补可得，∠A＋∠ABC=1800 即x＋5x=180 解得，x=300 ∴∠A=300

在Rt⊿ABE中， ∵∠A=300，BE=8cm， ∴AB=16cm ∴菱形ABCD的周长=4×16=64(cm) 答：菱形ABCD的周长为64cm。 二、求对角线

例2 已知菱形的两条对角线之比为3:4，周长为100cm，求菱形的两条对角线的长。

解析：如图2，O为对角线AC、BD的交点，设较短的对角线AC=6k，则较长的对角线BD=8k ∵菱形的对角线互相平分、垂直， ∴OA=3k，OB=4k 又∵菱形的四条边都相等，且周长为100cm，∴AB=25cm 在Rt⊿AOB中，∵AB2=OA2＋OB2 ∴252=(3k)2＋(4k)2

解得，k=5(取算术根) ∴ AC=6×5=30(cm) ，BD=8×5=40(cm) 答：菱形的两条对角线的长分别为30cm和40cm。 三、求内角的度数

例3 如图3，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE=BE，求菱形ABCD各内角的度数。 解析：连结BD

∵DE⊥AB，且AE=BE ∴DE是AB的垂直平分线 ∴DA=DB

又∵菱形的四条边都相等，∴AB=BD=DA， 即⊿ABD为等边三角形，∴∠A=600 又∵菱形的邻角互补、对角相等

∴∠ABC=∠CDA=1800－600=1200，∠A=∠C=600

答：菱形ABCD各内角的度数各为600、1200、600、1200。 四、求高

例4 如图4，菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AC=8cm，BD=6cm，求菱形的高。 解析：作菱形的高BE

∵菱形的对角线互相垂直、平分 ∴OA=

11

AC=4cm，OD=BD=3cm 22

Rt⊿AOD中，AD=OD2OA232425( cm)

1124

AC×BD=AD×BE ∴×8×6=5BE 解得，BE=(cm) 22524

答：菱形的高为cm。

5

∵S菱形ABCD=






实战练习：

1、如图，在菱形ABCD中，已知AB=BD=2cm，则∠ABC= ，菱形的周长= 2、菱形的面积为600cm2，一条对角线长为40cm，则另一条对角线的长为 ，边长是 ，菱形的高为 。

参考答案：

1、1200、8cm；

2、30cm，25cm，24cm。

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