高三奥数题及答案

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高三奥数题及答案

设函数f(x)=|x-a|-ax,其中a大于0为常数(1)解不等式f(x)小于0(2)试探求函数f(x)存在最小值的充要条件,并求出相应的最小值

解：

f(x)=|x-a|-ax，a>0,a为常数 （1）f(x)<0 |x-a|-ax<0 (a)x≥a>0 f(x)=x-a-ax<0 xa/(1-a)>x≥a,

因a>0，x>0,故0(b)x≤a

f(x)=a-x-ax=a-(1+a)x<0 x>a/(1+a) a/(1+a)≤a, (2)f(x)=|x-a|-ax=y |x-a|-ax=y |x-a|=ax+y |x-a|^2=(ax+y)^2

(ax)^2+2a(y+1)x+y^2-a^2=0 △=[2a(y+1)]^2-4*a^2*(y^2-a^2)≥0


y≥-(1+a^2)/2<0 f(x)的最小值=-(1+a^2)/2 检验：

当x≥a>0，0时 f(x)=x-a-ax=-(1+a^2)/2<0 x=（a-1）/2<0

可知x≥a>0，0时，f(x)不存在最小值。 当x≤a，a>0时

f(x)=a-(1+a)x=-(1+a^2)/2 x=(1+a)/2>0

故a>0，x=(1+a)/2时，f(x)存在最小值=-(1+a^2)/2

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