椭圆的焦点弦长公式

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椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式

2ab2

F1F22

ac2cos2

及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题。

结论:若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为,a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半

2ab2

距,则有F1F22。 22

accos

例１.已知椭圆的长轴长AB8,焦距F1F242，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点,设

PF1X(0),当取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长?

解：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦,且a4,c22，从而b22，由焦点弦长公式

24(22)22ab2

42，解得cosF1F22及题设可得:222

168cosaccos

22,即

arccos22或arccos22。

例2.在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（３,1),相应于F的准线为Y轴,直线l通过点F，且倾斜

角为

16

,又直线l被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的方程。

53

(xc3)2(y1)2

1,又椭圆E相应于F的准线为Ｙ轴，故有解：由题意可设椭圆Ｅ的方程为22

aba2

c3；由焦点弦长公式有c

2ab2

a2c2cos2



3



16222

a24,b23，；又 abc；解得：c1，

5

(x4)2(y1)2

1。 从而所求椭圆E的方程为

43

x2y2xy

例3.已知椭圆C:221(ab0)，直线l1：1被椭圆C截得的弦长为22,过椭圆右焦

abab

点且斜率为3的直线l2被椭圆Ｃ截得的弦长是它的长轴长的

2

，求椭圆C的方程。 5

2

2

解：由题意可知直线l1过椭圆Ｃ的长、短轴的两个端点，故有ab8，又由焦点弦长公式得

2ab24a22222

3=， 因=,得，又 abc，解得:a6,b2，从而所tan222

accos53


椭圆的焦点弦长公式

x2y2

1。 求椭圆E的方程为62

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