数列前n项和求和方法集锦(错位相加法,分组求和法等)

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一.求和方法大集锦

1.分组求和法:

就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，它们的和当然就好求了。

例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的话，

可以将通项(2^n-1)/(2^n)写成1-2^(-n)这样就变成每一项都是1-X（X为通项）的公式 对于通项-2^(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了

2.数列累加法

(1)逐差累加法

例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an

解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22, a4-a3=23, …an-an-1=2n-1 将以上n-1个式子相加可得

an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1 注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法 求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等差数列。 (2)逐商叠乘法

例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an 解：当n≥2时， =22, =23, =24,… =2n 将以上n-1个式子相乘可得 an=a1.22+3+4+…+n=2 当n=1时，a1=1满足上式 故an=2 (n∈N*)

注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列

3.裂项求和

当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n*（n+1）

可拆为 1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1））

然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。

4.倒序相加

最简单的是等差数列用倒序相加求和：


1到9 1+9=10 2+8=10。。。所以便有首项加末项乘以项数除以二。1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100

=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100) (裂项） =1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100 (消元） =2-1/100 =199/100

5.错位相减

这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1) 用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。 分组求和：此为裂项求和的反运算，但是没有裂项求和用的频繁，那个是有分式首先就想到裂项求和，如1+3+4+9+……+2^n+3^n 实际上可以看成两个或多个数列，但有时混在一起而且条件不充分时不容易发现。

二.数列概念大综合



1.一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=s1(n=1) an=Sn=Sn-1(n≥2)

错位相减：这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+……2^(n-1)+2^n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+……2^n+2^(n+1) 用后式-前式:Sn=2^(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。

2.分组求和：此为裂项求和的反运算，但是没有裂项求和用的频繁，那个是有分式首先就想到裂项求和，如1+3+4+9+……+2^n+3^n 实际上可以看成两个或多个数列，但有时混在一起而且条件不充分时不容易发现。 3、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 4、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

5、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

6、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 7、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。

8、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 9、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 10、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。

11、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

12、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列。 13、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

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