棱台体体积公式推导

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正棱台体公式推导

（1）将正四棱台切割成九部分（如下图）

A

BEH

C

D

G

FI



（鸟瞰图） （立体切面图） E在棱台体中间位置，是一个方形体；

B、D、H、F是四个三棱柱，分别位于在方形体的四周位置； A、C、G、I 是四个四棱锥，分别位于棱台体的四个角的位置。 （2）用字母表示图形部位

顶面棱长为b，底面棱长为a,棱台体高为h。



（3）体积的计算

(1)一个方形体E，其底面是边长为b、高为h的方形体，体积为bh；

2





（图V1）

(2)四个四棱锥A、C、G、I，用其中三个可以拼合成一个底边两直角边都是为

ab

、高为h的方形体。 2





（四棱锥） （三个四棱锥拼合图形） （多出一个四棱锥） 方形体的体积为（为

ab21ab2

）h。其中一个四棱锥的体积就是（）h。四个四棱锥的体积和则

322

4ab2

（）h。 32

1

化简可得：（ab）2 h

3

(ab)

、h的长方体，体积和为2

(3)四个直角三棱柱B、D、F、H，可以拼成两个长、宽、高分别为b、b(a-b)h。








（三棱柱） （拼合图形） （4）四棱台的体积

四棱台的体积等于上述三项（九个部分）之和

1

（ab）2h+ b(a-b)h 3

1

解：V= [b 2 +（ab）2+ b(a-b)] h

3

V=bh+

2

由此得出：正棱台体的体积等于截面积的和乘以高。 截面积组成：

方形体的截面积：顶面的边长乘以边长； 字母表示 b2 四个三棱柱截面积和： 字母表示b(a-b)

一个三棱柱截面积等于方形体底面积一半。 四个四棱锥截面积和： 字母表示

1

（ab）2 3

一个四棱锥截面积等于方形体底面积的三分之一。 化简可得 V

12

(aabb2)h 3

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