棱台体体积公式推导

2022-04-07 19:00:31   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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正棱台体公式推导

1将正四棱台切割成九部分(如下图)

A

BEH

C

D

G

FI



瞰图) (立体切面图) E在棱台体中间位置,是一个方形体;

BDHF是四个三棱柱,分别位于在方形体的四周位置; ACGI 是四个四棱锥,分别位于棱台体的四个角的位置。 2)用字母表示图形部位

顶面棱长为b,底面棱长为a,棱台体高为h



3)体积的计算

(1)一个方形体E,其底面是边长为b、高为h的方形体,体积为bh

2





(图V1

(2)四个四棱锥ACGI,用其中三个可以拼合成一个底边两直角边都是为

ab

、高为h的方形体。 2





(四棱锥) (三个四棱锥拼合图形) (多出一个四棱锥) 方形体的体积为(

ab21ab2

h。其中一个四棱锥的体积就是h。四个四棱锥的体积和则

322

4ab2

h 32

1

化简可得:ab2 h

3

(ab)

h的长方体,体积和为2

(3)四个直角三棱柱BDFH,可以拼成两个长、宽、高分别为bb(a-b)h








(三棱柱) (拼合图形) 4)四棱台的体积

四棱台的体积等于上述三项(九个部分)之和

1

ab2h+ b(a-b)h 3

1

解:V= [b 2 +ab2+ b(a-b)] h

3

V=bh+

2

由此得出:正棱台体的体积等于截面积的和乘以高。 截面积组成:

方形体的截面积:顶面的边长乘以边长; 字母表示 b2 四个三棱柱截面积和: 字母表示b(a-b)

一个三棱柱截面积等于方形体底面积一半。 四个四棱锥截面积和: 字母表示

1

ab2 3

一个四棱锥截面积等于方形体底面积的三分之一。 化简可得 V

12

(aabb2)h 3


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