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第五讲、数据分析
一、数据的代表
（一）、（1）平均数：一般地，如果有n个数x1,x2,,xn,那么，x=作“x拔”。
注：如果有n个数x1,x2,,xn的平均数为x，则①ax1,ax2,,axn的平均数为ax； ②x1+b,x2+b,,xn+b的平均数为
1
(x1+x2++xn)叫做这n个数的平均数，x读n
x+b； ③ax1+b,ax2+b,,axn+b的平均数为ax+b。
（2）加权平均数：如果n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1+f2+fk=n），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为x=数，其中f1,f2,,fk叫做权。
（3）平均数的计算方法
x1f1+x2f2+xkfk
，这样求得的平均数x叫做加权平均
n
1
(x1+x2++xn) n
xf+x2f2+xkfk
②加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：x=11，其中
n
f1+f2+fk=n。
①定义法:当所给数据x1,x2,,xn,比较分散时，一般选用定义公式：x=
③新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：x=x'+a。其中，常数a通常
1
取接近这组数据平均数的较“整”的数，x'1=x1a，x'2=x2a，…，x'n=xna。x'=(x'1+x'2++x'n)是新数
n
据的平均数（通常把x1,x2,,xn,叫做原数据，x'1,x'2,,x'n,叫做新数据）。 （4）算术平均数与加权平均数的区别与联系 ①联系：都是平均数，算术平均数是加权平均数的一种特殊形式（它特殊在各项的权相等，均为1）。
②区别：算术平均数就是简单的把所有数加起来然后除以个数。而加权平均数是指各个数所占的比重不同，按照相应的比例把所有数乘以权值再相加,最后除以总权值。
（二）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。（注：不是唯一的，可存在多个）
（三）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
（注：①在找中位数的时候一定要把数据按大小依次排列；②如果n是奇数，则中位数是第数处于第和第
n2
n
+1个的平均数；③中位数一般都是唯一的） 2
n+1
个；若n是偶数，则中位2
二、数据的波动 （一）极差：
（1）概念：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。
（2）意义：能够反映数据的变化范围，是最简单的一种度量数据波动情况的量，极差越大，波动越大。 （二）方差：
（1）概念：在一组数据x1,x2,,xn,中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“s”表示，即s2=
2
1[(x1n
x)2+(x2x)2++(xn
x)2]
（2）意义：衡量数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，数据的波动越稳定。
2222
ss 注：如果有n个数x1,x2,,xn的方差为s，的方差为的方差为aax,ax,,axx+b,x+b,,x+b12n12n则①； ②；
;..
.
22
③ax1+b,ax2+b,,axn+b的方差为as。
（三）方差的计算
（1）基本公式： s2=
1[(x1n
n
x)2+(x2x)2++(xn
x)2]
x此公式的记忆方法是：方差等于原数据
2
（2）简化计算公式（Ⅰ）：=1x+x++xnx也可写成s2=平方的平均数减去平均数的平方。
（3）简化计算公式（Ⅱ）:s2=
1222
[(x1+x2++xn)]n
2122
[(x'1+x'2++x')nx'] 2nn
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数
2122此公式的记忆a，得到一组新数据x'1=x1a，x'2=x2a，…，x'n=xna，那么，s2=[(x'1+x'22++x'n)]x'
n
方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
（4）新数据法：原数据x1,x2,,xn,的方差与新数据x'1=x1a，x'2=x2a，…，x'n=xna的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x'1,x'2,,x'n,的方差就等于原数据的方差。 （四）方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
s=s2=
1[(x1n
x)2+(x2x)2++(xn
x)2]
三、统计学中的几个基本概念
1、总体:所有考察对象的全体叫做总体。
2、个体:总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本:从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/125f4b91a900b52acfc789eb172ded630b1c98b6.html
2023-10-02
