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最大公因数与最小公倍数问题探讨
漳县三岔镇寺崖头明天小学 崔志平 邮编748301
关键词：最大公因数、最小公倍数、约分、通分、省工节约、互质、倍数、
摘要：复杂型分数比较大小，先求出分子或分母的最小公倍数，再用化分子相同法（分母大
的值小）或分子相同法（分子大的值大）来比较。
在新编九年义务教材中，最大公因数和最小公倍数的问题十分广泛，它不但在学生校内学习的约分、通分中重点应用，而且在现实生活中，美化环境，建设家园的省工节约方面，具有实用价值，本文做递进式探讨： 一.最大公因数和最小公倍数的定义. 1. 最大公因数：
常作最大公约数，指几个数的公因数中，最大的一个因数；如：27=1×27=3×9；36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6；45=1×45=3×15=5×9；因此，27的因数有1、3、9、27；36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；45的因数有1、3、5、9、15、45；其中1、3、9是27、36和45的公因数，在分数约分
36
中，也是公约数，9是它们的最大公约数，45
也是最大公因数。 2. 最小公倍数：
指几个数的公倍数中，最小的一个倍数；如：27的倍数有27、54、81、108、135、162、216……；36的倍数有36、72、108、144、180、216……；其中，108、216……是27和36 的公倍数，，108是27和36的最小公倍数。又如：27、36、45的公倍数有540、1080、1620、2160、2700……，其中，540是27、36和54的最小公倍数。 二.最大公因数与最小公倍数的求法归类. 1.互质型.
例1.求3与13的最大公因数和最小公倍数.
解：由于3和13是互质数，它们的公因数只有1，所以，3与13的最大公因数是1，最小公倍数是13×3=39.
结论：互质型的几个数的最大公约数或公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 2.倍数型.
例2.求3、6、12的最大公因数和最小公倍数.
解：由于6是3的2倍，12是6的2倍，12是3的4倍，所以，3、6、12互为倍数
型，因此，3、6、12的最大公因数事3，最小公倍数是12.
结论：倍数型的几个数的最大公因数是它们中的最小数，最小公倍数是它们中的最大
数。 3. 复杂型.
例3.比较
573、、的大小. 81416
解：分母8、14、16的最小公倍数是112，分子5、3、7的最小公倍数是105， （1） 化分子相同法：
551710533351057715105==；==；==；
1488171361435490161615240
（2）化分母相同法：
5514707774933824
==；==；==。 88141121414811216167112
结论：复杂型分数比较大小，先求出分子或分母的最小公倍数，再用化分子相同法（分
1
母大的值小）或分子相同法（分子大的值大）来比较。 三.生活应用型. 1.分配整分型.
例1.有一箱子苹果，平均分给三年级的30人，或分给四年级的40人，或分给五年级的50人，都正好整分完，问这一箱子苹果最少有多少颗？
解：整分，说明苹果颗数是30、40、50的公倍数，而整分中的最少，就要求它们的最小公倍数， 10
30 40 50
这一箱子苹果最少有10×3×4×5=600颗. 2.分配剩余问题.
例2.学校购买来了一批笤帚，每个班分8把、或分12把、或分15把，总是剩余3把，问这批笤帚最少有多少把？
解：分配中总是有剩余，就是求出公倍数加上剩余数，最少有多少，就是最小公倍数加剩余， 4
8 12 15
3 4 5
3 2 3 15 2 1 5
这批笤帚最少有4×3×2×1×5+3=120+3=123把. 3.建设制作型问题.
例3-1.（铺地砖）在长32分米,宽24分米的地面要铺地砖,边长选为多少分米的方砖，才能既铺得整齐又节约？
解：要使铺得整齐，所选正方形边长是24分米和32分米的公约数，而又要求节约，就必须是最大公约数8分米，所以要选边长8分米的正方形地砖，才能铺的既整齐又节约。 例3-2.（剪彩带）要把32厘米和24厘米的两条彩带剪成同样的小段，每小段都要求是整数厘米，而且没有剩余，（1）每小段可能是多长？（2）每小段彩带最长是多少厘米？这样的两条彩带一共可剪成几小段？ 解：（1）要求同长整数没剩余，就是利用24和32的公约数来剪，公约数有1、2、4、8；因此，每小段长是1厘米、2厘米、4厘米、8厘米。
(2)从最大公约数知道，最长是8厘米，32÷8=4；24÷8=3；3×4=12.因此，最长时可剪成12段。 4.常规相遇型.
例4-1.甲乙二人在2000米的环形跑道上匀速跑步，甲跑一圈需要20分钟，乙跑一圈需要16分钟，他们同时从起点出发，最少需要几分钟，他们同时再次到起点？这时，甲乙各跑了几圈？
解：第一次同时回到起点，应当是各跑一圈所需时间的最小公倍数，而20和16的最小公倍数是4×5×4=80.由此可知，最少需要80分钟，他们才能再次同时到起点。这时，甲跑
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/10d82c76d6d8d15abe23482fb4daa58da1111c80.html
2023-04-18
