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初中数学竞赛辅导资料(初三25)
数的整除(三) 甲内容提要
在第1讲《数的整除(一)》和44讲《数的整除(二)》中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.
一. 同余的概念 两个整数a和b被同一个正整数m除，所得的余数相同时，称a, b
关于模m 同余.记作a≡b(mod m).
如：8和15除以7同余1，记作8≡15(mod 7), 读作8和15关于模7同余.
∵2003=7×286+1， ∴2003≡1 (mod 7)；
∵－7和6对于模13同余6（余数是非负数） ∴－7≡6（mod 13）；
∵35和0除以5，余数都是0（即都能整除） ∴35≡0（mod 5）. 二. 用同余式判定数的整除
若a≡b(mod m)， 则m|(a－b). 即a－b≡0(mod m)m|(a－b).
例如：11≡25(mod 7)7|(25－11)； 或 7|(11－25). ∵25+35≡2+3≡0 (mod 5)， ∴5|25+35.
三. 同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点)
1. 传递性：
ab(momd)
d). ac(mom
bc(momd)
ab(modm)，acbd(modm)；
cd(modm).acbd(modm).
2. 可加可乘性：
推论 可移性：a≡b+c (mod m)(a－b)≡c(mod m).
可倍性：a≡b(mod m)ka≡kb(mod m) (k为正整数). 可乘方：a≡b(mod m) an≡bn(mod m) (n为正整数). 3. 当d 是a, b, m的正公因数时， a≡b(mod m)
abm(mod ). ddd
如：2是20，26，6的正公因数， 20≡26(mod 6)1013(mod 3). 四. 根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m同余.
即至少有两个，其差能被m 整除.
例如：任给5个数a, b, c, d, e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.
∵除以4的余数只有0，1，2，3四种. ∴5个数除以4至少有两个同余.
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乙例题
例1. 已知：69，90，125除以正整数n有相同的余数.
求：n的值
解：∵69≡90(mod n)， 90≡125(mod n).
∴ n|(90－69)， n|(125－90).
而21,35的最大公约数是7， 记作(21,35)=7 (7是质数). ∴n=7
例2. 求388除以5的余数. 解：∵38≡3 (mod 5)，
∴388≡38≡(32)4≡(－1)4≡1 (mod 5).
(注意 9除以5余4，－1除以5也是余4，∴32≡－1 (mod 5)
例3. 求7的个位数字.
解： ∵74k+n与7n的个位数字相同， 且9≡1 ( mod 4)，
∴ 99≡19 ≡1 (mod 4).
∴7与71的个位数字相同都是7.
例4. 求证：7|(22225555+55552222).
证明：∵22225555+55552222=(22225)1111+(55552)1111
∵2222=7×317+3 ， 5555=7×793+4. ∴2222≡3 ( mod 7)； 5555≡4 (mod 7).
∴22225≡35≡5(mod 7)； 55552≡42≡2 (mod 7). ∴22225+55552≡5+2≡0 ( mod 7).
即22225≡－55552 (mod 7).
∴(22225)1111≡(－55552)1111≡－(55552)1111 (mod 7). ∴22225555+55552222≡0 (mod 7). ∴7|(22225555+55552222).
例5. 求使32n－1能被5整除的一切自然数n.
解：∵32≡－1 (mod 5) ，
∴(32)n≡(－1)n (mod 5).
32n－1≡(－1) n－1 (mod 5)
∵当且仅当n为偶数时，(－1) n－1=0.
∴使32n－1能被5整除的一切自然数n是非负偶数
例6. 已知：a, b, c是三个互不相等的正整数.
求证：a3b－ab3, b3c－bc3, c3a－ca3三个数中，至少有一个数能被10整除. （1986年全国初中数学联赛题）
证明：用同余式判定整除法证明
当正整数n的个位数是0，1，4，5，6，9时，n3 的个位数也是0，1，4，
5，6，9.
∴这时n3≡ n (mod 10)；
当正整数n的未位数为2，3，7，8时，n3 的个位数分别是8，7，3，2. ∵8与－2，7与－3，3与－7，2与－8，除以10是同余数， ∴这时n3≡－n (mod 10)；
把三个正整数a, b, c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个
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99
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属于同一类.
设a, b的末位数是同一类，那么 a3b－ab3≡ab－ab≡0 (mod 10)；或a3b－ab3≡(－a)b－a(－b)≡0 (mod 10).
∴ 10| (a3b－ab3) 丙练习69
1. 三个数33，45，69除以正整数N有相同余数，但余数不是0，那么N=_______.
2. 求77的个位数字. 3. 求37
4592
7
除以19的余数； 41989除以9的余数.
4. 求19891990÷1990的余数.
5. 四个数2836，4582，5164，6522都被同一个正整数除，所得的余数都相同且不是 0，求除数和余数.
6. 求证：7|(33334444+44443333).
7. 已知：正整数n>2 . 求证：11113 (mod 4).
n个
8. 任给8个整数，其中必有两个，它们的差能被7整除，试证之. 9. 求使2n+1能被3整除的一切自然数n.
10. 已知 69，90，125除以N (N>1) 有同余数，那么对于同样的N，81同余于( ) （A）3. （B）4. （C）5. （D）7. （E）8.
（1971年美国中学数学竞赛试题） 答案：
1. N=12，6，2.(舍去3，∵余数是0).解法仿例1. 2. 个位数字是3.∵7≡－1(mod 4), ∴ 7
77
≡(－1)
7
7
(mod 4)„„仿例3
3. 余数是18和1. ∵37≡－1 (mod 19) ∴原式≡－1 ≡18 (mod 19)；
41989=(43)663 64≡1(mod 9) 64663≡1663 ≡1.
4. 余数是1. ∵1989≡－1 (mod 1990) ∴19891990≡(－1)1990≡1 (mod 1990). 5. 根据题意 2836≡4582≡5164≡6522≡r (mod m)
而且4582－2836=1746, 6522－5164=1358. ∴ m| 1746, 且m|1358， (1746，1358)=2×97 ∴m=194, 97, 2 (2不合题意.舍去)
答：除数为194， 余数是120或除数为97， 余数是23 6. ∵ 33334444+44443333≡14444+(－1)3333≡0 (mod 7). 7. 1111111100+11≡11≡3 (mod 4).
n个
n2个
8. 8个正整数分别除以7，必有两个或两个以上是同余数 9. ∵2≡－1 (mod 3) ∴2n≡(－1)n (mod 3)
2n+1≡(－1)n+1 (mod 3)
当且仅当n奇数时, (－1)n+1≡0 ∴能被3整除的一切正整数n是奇数 10. (B).
魔靖123
本文来源：https://www.wddqxz.cn/10c48e7b74232f60ddccda38376baf1ffc4fe386.html
2022-04-16
