(初三25)数的整除(三)

2022-04-16 04:00:08   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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整除,初三,25


初中数学竞赛辅导资料(初三25)

数的整除() 甲内容提要

在第1讲《数的整除()44讲《数的整除()中,分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题,本讲介绍应用“同余”方面的知识.

. 同余的概念 两个整数ab被同一个正整数m除,所得的余数相同时,a, b

关于模m 同余.记作ab(mod m).

如:815除以7同余1,记作815(mod 7), 读作815关于模7同余.

2003=7×286+1 20031 (mod 7)

∵-76对于模13同余6(余数是非负数) ∴-76mod 13

350除以5,余数都是0(即都能整除) 350mod 5. . 用同余式判定数的整除

ab(mod m) m|(ab). ab0(mod m)m|(ab).

例如:1125(mod 7)7|(2511) 7|(1125). 25+352+30 (mod 5) 5|25+35.

. 同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点)

1. 传递性:

ab(momd)

d). ac(mom

bc(momd)

ab(modm)acbd(modm)



cd(modm).acbd(modm).

2. 可加可乘性:

推论 可移性:ab+c (mod m)(ab)c(mod m).

可倍性:ab(mod m)kakb(mod m) (k为正整数). 可乘方:ab(mod m) anbn(mod m) (n为正整数). 3. d a, b, m的正公因数时, ab(mod m)

abm(mod ). ddd

如:220266的正公因数, 2026(mod 6)1013(mod 3). . 根据抽屉原则:任给m+1个整数,其中至少有两个数对于模m同余.

即至少有两个,其差能被m 整除.

例如:任给5个数a, b, c, d, e.其中至少有两个,它们的差能被4整除.

∵除以4的余数只有0123四种. 5个数除以4至少有两个同余.

魔靖123




乙例题

1. 已知:6990125除以正整数n有相同的余数.

求:n的值

解:∵6990(mod n) 90125(mod n).

n|(9069) n|(12590).

21,35的最大公约数是7 记作(21,35)=7 (7是质数). n=7

2. 388除以5的余数. 解:∵383 (mod 5)

38838(32)4(1)41 (mod 5).

(注意 9除以54,-1除以5也是余4,∴32≡-1 (mod 5)

3. 7的个位数字.

解: 74k+n7n的个位数字相同, 91 ( mod 4)

9919 1 (mod 4).

771的个位数字相同都是7.

4. 求证:7|(22225555+55552222).

证明:∵22225555+55552222=(22225)1111+(55552)1111

2222=7×317+3 5555=7×793+4. 22223 ( mod 7) 55554 (mod 7).

22225355(mod 7) 55552422 (mod 7). 22225+555525+20 ( mod 7).

22225≡-55552 (mod 7).

(22225)1111(55552)1111≡-(55552)1111 (mod 7). 22225555+555522220 (mod 7). 7|(22225555+55552222).

5. 求使32n1能被5整除的一切自然数n.

解:∵32≡-1 (mod 5)

(32)n(1)n (mod 5).

32n1(1) n1 (mod 5)

∵当且仅当n为偶数时,(1) n1=0.

∴使32n1能被5整除的一切自然数n是非负偶数

6. 已知:a, b, c是三个互不相等的正整数.

求证:a3bab3, b3cbc3, c3aca3三个数中,至少有一个数能被10整除. 1986年全国初中数学联赛题)

证明:用同余式判定整除法证明

当正整数n的个位数是014569时,n3 的个位数也是014

569.

∴这时n3 n (mod 10)

当正整数n的未位数为2378时,n3 的个位数分别是8732. 8与-27与-33与-72与-8,除以10是同余数, ∴这时n3≡-n (mod 10)

把三个正整数a, b, c按个位数的情况,分为上述两类时,则至少有两个

魔靖123

99

99




属于同一类.

a, b的末位数是同一类,那么 a3bab3abab0 (mod 10)a3bab3(a)ba(b)0 (mod 10).

10| (a3bab3) 丙练习69

1. 三个数334569除以正整数N有相同余数,但余数不是0,那么N=_______.

2. 77的个位数字. 3. 37

4592

7

除以19的余数; 41989除以9的余数.

4. 19891990÷1990的余数.

5. 四个数2836458251646522都被同一个正整数除,所得的余数都相同且不是 0,求除数和余数.

6. 求证:7|(33334444+44443333).

7. 已知:正整数n>2 . 求证:11113 (mod 4).

n

8. 任给8个整数,其中必有两个,它们的差能被7整除,试证之. 9. 求使2n+1能被3整除的一切自然数n.

10. 已知 6990125除以N (N>1) 有同余数,那么对于同样的N81同余于( ) A3. B4. C5. D7. E8.

1971年美国中学数学竞赛试题) 答案:

1. N=1262.(舍去3,∵余数是0).解法仿例1. 2. 个位数字是3.7≡-1(mod 4), 7

77

(1)

7

7

(mod 4)„„仿例3

3. 余数是181. 37≡-1 (mod 19) ∴原式≡-1 18 (mod 19)

41989=(43)663 641(mod 9) 646631663 1.

4. 余数是1. 1989≡-1 (mod 1990) 19891990(1)19901 (mod 1990). 5. 根据题意 2836458251646522r (mod m)

而且45822836=1746, 65225164=1358. m| 1746, m|1358 (17461358)=2×97 m=194, 97, 2 (2不合题意.舍去)

答:除数为194 余数是120或除数为97 余数是23 6. 33334444+4444333314444+(1)33330 (mod 7). 7. 1111111100+11113 (mod 4).

n

n2

8. 8个正整数分别除以7,必有两个或两个以上是同余数 9. 2≡-1 (mod 3) 2n(1)n (mod 3)

2n+1(1)n+1 (mod 3)

当且仅当n奇数时, (1)n+10 ∴能被3整除的一切正整数n是奇数 10. (B).

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