长方体的体积

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长方体的体积



例1 一个长方体，如果高增加2厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？



分析：这个长方体的高增加2厘米厚，就变成一个正方

体，这时变化的仅仅是高，说明原来的长和宽是相等的，而且是变化后的正方体的棱长，原来长方体的高比它的长（宽）少2厘米。同时可以看出，原来长方体的上面在增高中移到了正方体的上面，因此在变化过程中增加的面积是高2厘米的侧面的面积，就是4个完全相同的宽为2厘米的长方形的面积，即56平方厘米。可以用“56÷4”得出每个长方形的面积，再除以2得出正方体的棱长，即原来长方形的长和宽，最后用棱长的长度减去增加的2厘米，得到原长方体的高，利用体积公式求出原长方体的体积。



高增加2厘米，解答：增加的每个小长方形的面积：56÷4=14（平方厘米） 也就是增加一个高是2厘米的小正方体的棱长：14÷2=7（厘米）

长方体，这个小长方体的原长方体高：7-2=5（厘米）

侧面积才是增加的面积。

原长方体体积：7×7×5=245（立方厘米）

结论：立体图形的体积发生变化时，表面积通常也会发生变化，这就需要画图，从图中找出变化规律，解决所求问题。



当堂练习

1．一个长方体，如果高减少4厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少128平方厘米。原长方体的体积是多少立方厘米？

2．有一个正方体，如果它的高增加2厘米就变成一个长方体，这个长方体的表面积就比原来的正方体增加96平方厘米，原正方体的体积是多少立方厘米。



例2 一个长方体的体积石245立方厘米，如果它的高增加2厘米，它就变成一个正方体（如图），求这个长方体的表面积。



分析：本题看起来和例1很相似，但用例1的思路却无法解答，很显然，根据已有信息，无法直接求出长方体的长、宽和高，只知道长方体的长=宽=高+2，但根据长方体的体积是245

立方厘米，可以考虑将245分解成三个符合要求的数，从而找出长、宽、高。

可设长、宽是x cm，则高分别（x-2）cm，于是有方程 x×x×(x-2)=245。只要把245进行分解，即可知道x是7，（x-2）是5。 解答：因为245=7×7×5

所以长方体的长、宽、高分别是7厘米、7厘米、5厘米 长方体的表面积7×7×2+7×5×4=238（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是238平方厘米。




当堂练习：

3．一个长方体的体积是810立方分米，如果它的高减少1分米，就变成一个正方体，求这个长方体的表面积。



例3 一块长方体木料，锯下一个体积是75立方分米的小长方体后，剩下的部分是一个棱长为5分米的正方体，原长方体木块的表面积是多少平方分米？

分析：由“剩下的部分时一个棱长为5分米的正方体”，我们可以想象出长方体的横截面是一个边长为5分米的正方形。由锯下的体积数除以横截面面积就可以求出锯下的小长方体的长，从而可求出原木料的表面积。

解答：小长方体的长：75÷（5×5）=3（分米） 原木料的长：3+5=8（分米）

原木料的表面积：8×5×4+5×5×2=210（平方分米） 答：原长方体木料的表面积是210平方分米。

结论：像这种割去一个长方体就变成一个正方体（或是“剩下一个正方体”）的情况，这里改变的只是一条棱的长度，所以题中就有一个隐含条件，原长方体中有两组棱是相等的，要挖掘到这个隐含条件再根据变化，灵活解题。



当堂练习：

4．一个长方体木块，从上部截去一个高是2厘米的长方体，从下部截去一个高4厘米的长方体后，剩下的部分是一个正方体。如果正方体表面积比原来长方体表面积少120平方厘米，那么长方体的体积是多少立方厘米？



例4 用一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，做一个深5厘米的无盖长方体容器（焊接处和铁皮厚度不计）。有几种焊接方法？怎样焊接容积最大？

分析：有以下三种焊接方法。 方法一：如图①，从原铁皮的四个角分别剪去一个边长为5厘米的正方形，就可焊接成如图②所示的无盖容器。



方法二：如图③在原铁皮的一条宽边的角上分别剪去两个边长为5厘米的正方形铁皮，再把这两块铁皮焊接到原铁皮的另一条宽边上，就可焊接成如图④所示的无盖容器。



方法三：如图⑤从原铁皮的长边上剪下一个边长为20厘米的正方形铁皮，再把这个正方形铁皮的一边平均分成四份，就可焊接成如图⑥所示的无盖容器。

但不管怎样焊接高都是一样的，因此要使容积最大，底面积必须尽可能大。 解答：第一种方法：30×10×5=1500（立方厘米） 第二种方法：35×10×5=1750（立方厘米）

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