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如何证明相似三角形判定定理
预备知识：
图1中，平行线等分线段定理 已知l1//l2//l3，AB=BC，则DE=EF 由已知条件构造三角形全等，可证得平行线间距离相等，然后以此结论做条件可构造线段DE，EF所在三角形全等，结论获证. 图2中，平行线分线段成比例定理 已知l1//l2//l3，则
ABC
图1
DE
l1l2Fl3
C
AB
FE
l1l2
D
l3
图2
ABEF
，命题可通过添加
BCDE
D
AE
平行线转化成平行线等分线段定理.
ABEFCBEDCBED
由比例性质还可得，， ACDFABEFACDF相似三角形判定定理证明
图3，已知DE//BC，求证：△ADE∽△ABC
析：欲证两三角形相似，则需证三对角对应相等，三对边的比 相等，本题目三对角相等，则证三边比相等即可. 由DE//BC得
B
F
图3
C
ADEABFEA
，作EF//AB得，依题意知四边形DEFB是平行四边形，DE=BF. ABACCBAC则
ADAEDE
，命题获证. ABACCB
GB
EA
H
M
D
图4，已知DE//BC，求证：△ADE∽△ABC
作AG=AD，GH//BC，HM//AB，可证△ADE≌△AGH 此问题同图3
图5，在△ABC与△A`B`C`中，
ABBCAC
A`B`B`C`A`C`
A
图4
C
求证：△ABC∽△A`B`C`
在线段A`B`上截取A`D=AB，过点D作DE//B`C`，交A`C`于点E，根据上面定理得△A`DE∽△A`B`C` ∴
A`
A`
D
B
C
B`
图5
EC`
C`B`
A`DDEA`E
A`B`B`C`A`C`
A
A`A`
∵
ABBCAC
，AB=A`D A`B`B`C`A`C`
B
CB`
图6
D
C`B`
EC`
∴DE=BC，A`E=AC
∴△A`DE≌△A`B`C`
--
--
∴△ABC∽△A`B`C` 图6，
ABAC
，∠A=∠A`，求证：△ABC∽△A`B`C`
A`B`A`C`
在线段A`B`上截取A`D=AB，过点D作DE//B`C`，交A`C`于点E，根据上面定理得△A`DE∽△A`B`C` ∴
A`DA`E
A`B`A`C`
ABAC
，A`D=AB
A`B`A`C`
A
∵
∴A`E=AC ∵∠A=∠A`
∴△A`DE≌△A`B`C` DE∴△ABC∽△A`B`C`
BC`B`C`CB`
图7图7，∠A=∠A`，∠B=∠B`求证：
△ABC∽△A`B`C`
在线段A`B`上截取A`D=AB，过点D作DE//B`C`，交A`C`于点E，根据上面定理得△A`DE∽△A`B`C` ∴∠A`DE=∠B`
∵∠A=∠A`，∠B=∠B`，A`D=AB ∴∠A`DE=∠B A`∴△A`DE≌△A`B`C` A∴△ABC∽△A`B`C`
A`A`
ABAC
图8，Rt△ACB 与Rt△A`C`B`中，∠C=∠C`=90°， A`B`A`C`求证：△ABC∽△A`B`C`
B
C
图8
B`
C`
ABAC
设=k，则AB=kA`B`,AC=kA`C`则 A`B`A`C`
BCB`C`AB2AC2
B`C`k2A`B`2k2A`C`2kB`C`
k
B`C`B`C`
则三边成比例，∴△ABC∽△A`B`C`
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/0f8ff8040708763231126edb6f1aff00bfd57053.html
2023-02-25
