高中数学必修5 第2章 数列 教师版 第4课等差数列的概念和通项公式

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第4课时等差数列的概念和通项公式 【学习导航】

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学习要求

1、 体会等差数列是用来刻画一类离散现象

的重要数学模型，理解等差数列的概念； 2、 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的

方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；

【自学评价】

1．等差数列的通项公式：

①普通式：ana1(n1)d； ②推广式：anamnmd； ③变式：a1an(n1)d；

d

ana1n1；danam

nm

； 注：等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项数n的次数不高于一次的多项式函数即an=An+B(若{an}为常数列时,A=0). 2．等差数列的单调性：由等差数列的定义知an+1－an=d,

当d＞0时an+1＞an即{an}为递增数列； 当d=0时，an+1=an即{an}为常数列； 当d＜0时，an+1＜an即{an}为递减数列. 注：等差数列不会是摆动数列.

【精典范例】

【例1】第一届现代奥运会于1986年在希腊雅典举行，此后每４年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算． （１）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； （２）2019年北京奥运会是第几届？2019年举行奥运会吗？

【解】 （１）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以１８９６为首项，４为公差的等差数列．这个数列的通项公式为 aｎ＝１８９６＋４（ｎ－１）

第1页 ＝１８９２＋４ｎ （ｎ∈Ｎ）． （２）假设a听课随笔 ｎ＝２００８，由２００８＝１８９２＋４ｎ，得ｎ＝２９．假设aｎ＝２０５０，２０５０＝１８９２＋４ｎ无正整数解．

答 所求通项公式为aｎ＝１８９２＋４ｎ （ｎ∈Ｎ），2019年北京奥运会是第29届奥运会，2019年不举行奥运会． 【例2】在等差数列｛ａｎ｝中， 已知a３＝１０，a９＝２８，求a１２． 【解】

a１２＝４＋（１２－１）×３＝３７

【例3】某滑轮组由直径成等差数列的６个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为１５ｃｍ和２５ｃｍ，求中间四个滑轮的直径． 【解】用｛ａｎ｝表示滑轮的直径所构成的等差数列，且ａ１＝１５，ａ６＝２５．由等差数列的通项公式，得

ａ６＝ａ１＋（６－１）ｄ，

即２５＝１５＋５ｄ，解得ｄ＝２． 由此得ａ２＝１７，ａ３＝１９，ａ４＝２１，ａ５＝２３．

答 中间四个滑轮的直径顺次为１７ｃｍ，１９ｃｍ，２１ｃｍ，２３ｃｍ．

【追踪训练一】：

1．已知｛an｝是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=（ ） A.36 B.30 C.24 D.18

2.等差数列an中，a2与a6的等差中项为

5，a3与a7的等差中项为7，则an 2n3.

３．诺沃尔（Ｋｎｏｗａｌｌ）在１７４０年发现了一颗彗星，并推算出在１８２３年、１９０６年、１９８９年……人们都可以看到这颗彗星，即彗星每隔８３年出现一次． （１）从发现那次算起，彗星第８次出现是在哪一年？ （２）你认为这颗彗星在２５００年会出现吗？为什么？

【答案】（1）彗星第８次出现是在2321年 （2）不会

４．全国统一鞋号中，成年男鞋有１４种尺码，其中最小的尺码是２３．５ｃｍ，各相邻两个尺码都相差０．５ｃｍ，其中最大的尺码是多少？

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【答案】30cm ５．一个等差数列的第４０项等于第２０项与第３０项的和，且公差是－１０，试求首项和第１０项．

【答案】a190,a100

【选修延伸】

【例4】等差数列｛an｝中，a1=23，公差d

为整数，若a6>0,a7<0.

（1）求公差d的值; （2）求通项an. 【解】



（1）d=-4;（2）an=-4n+27

【例5】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个． 请您根据提供的信息说明： ⑴第2年

养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； ⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是

缩小了？请说明理由；

⑶哪一年的规模最大？请说明理由．

【解】

【答案】

(1) 第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只

(2) 到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了 (3) 第2年的规模最大 【追踪训练二】：

第2页1.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ D ） A.d＞

83 B.d＜3 C. 88

3≤d＜3 D.3

＜d≤3

2.在等差数列{an}中，若

a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8等于（ C ）

A.45 B.75 C.180 D.300

3.如果等差数列{an}的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第__8_项.

4.已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为an＝－3n＋53_.

5.已知数列{an}满足an+12=an2+4，且a1=1,an＞0，求an. 【解】 由an+12=a2n+4即an+12－an2=4∴数列{an2}构成等差数列.an2=a12+(n－1)d=12+(n－1)·4=4n－3

又an＞0∴an=4n3

8.若x≠y，两个数列：x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，求

a2a1

bb的值.

42

【解】 设两个等差数列的公差分别为d1、

dd2，即求1

yx4d1d，由已知得d

2yx52即

4d1yx,解得d15d2yx

d5

， 24即a2a1b5



4b34









【师生互动】





学生质疑



教师释疑

听课随笔

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