高中数学奥林匹克竞赛训练题(32)

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数学奥林匹克高中训练题（32）

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．(训练题32)设k为整数，则(1)k

2

1997

(1)

k219k97

(1)

k2199k7

(1)

k21997k

的值为(B)．

(A) -4或-2 (B) -2或0 (C) 0或2 (D) 2或4 2．(训练题32)ABC的三边长a,b,c满足bc2a,ac2b. 则

b

取值范围是(C)． a

(A)(0,) (B)(

15151

,) (C)(,2) (D)(0,2)

222

3．(训练题32)正方体八个顶点的两两连线中，异面直线共有(C)对．

(A)114 (B)138 (C)174 (D)228

x2y2

4．(训练题32)以椭圆221的长轴为底的内接梯形最大面积是(A)．

ab

(A)

3333232

ab (B)ab (C)a (D)a 4268

,18}的五元子集S1{a1,a2,a3,a4,a5}中，任何两元素之差

5．(训练题32)集合S{1,2,3,

不为1．这样子集S1的个数为(D)．

4455

(A)C17 (B)C15 (C)C13 (D)C14

B

6．(训练题32)如图，从A到B（方向只能从左右或从下上或从左下右上），不同走法路线种数为(D)．

A (A)16 (B)18 (C)20 (D)22

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．(训练题32)能被9整除且商恰是各位数字平方和的三位数是 315 ．

2．(训练题32)方程sin(3cosx)2sin(3cosx)sin(2cosy)10的实数解(x,y)

(2karccos



,2karccos),kZ ． 64

，前1997项之和是 42654 ．



3．(训练题32)数列1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,

4．(训练题32)正三棱锥VABC底面边长为a，侧棱长为b，M为高VO上一点，

VMa

．过M作平行于侧棱VA及底边BC的平面，则平面截正三棱锥所得截面面积为 MOb

2ab2(3ab)

．

9(ab)2



- 1 -




5．(训练题32)积乘

(12cos

k1

7

2k

) 3 ． 7

6．(训练题32)已知P(x)x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，且k1,2,3,4，时，

P(k)k1997．则P(10)P(5) 75315 ．

三、(训练题32)(本题满分20分)数列{xn}:x11,xn13xn32xn2xn．数列

{yn}:yn

1

．若{yn}前n项乘积为P，{zn}前n项和为S．求证：SP1．

12xn3xn2

x2y2

四、(训练题32)(本题满分20分)椭圆221上有16个点，顺次为P1,P2,P3,

54

焦点，每相邻两点与F连线夹角都相等(PFP12P2FP3P3FP4到左准线的距离为di(i1,2,3,

,P16,F为左

设PP16FP1)．1

,16)．求

i1

16

1

．（3） di

a1a2.......a6

，

6

五、(训练题32)(本题满分20分)给定六个实数a1a2.......a6．令x

a12a22......a26y．求证：a6a123yx2．

6

第二试

一、(训练题32)(本题满分50分)证明：存在一个1997的整数倍，它不超过11位，且各位数字不含有2，3，4，5，6，7．

二、(训练题32)(本题满分50分)正方形ABCD的边长为1，以顶点C为圆心，CB为半径作圆，在AB上取BP

1

，过P作圆的切线交AD于Q，切点为E，连CE交对角线BD于k，连5

13

AK交PQ于M．求AM的长．（）

30



三、(训练题32)(本题满分50分)证明：在任意2n2人中，可以找到两个人A,B，使得其余2n个人中，至少有n个人，他们中的每一个，或者都认识A,B；或者都不认识A,B．



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