关于三视图的一些疑惑的探究

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正本清源，解除疑难



关于三视图、直观图的一些困惑或错误认识解答

海林高中 王安军



在人教版必修2第一章空间几何体的教学过程中，经常有学生或部分教师对这部分内容中的一些问题感到困惑或有错误认识，本人将一些主要问题进行了整理，下面是本人对这些问题的一些粗浅认识，以抛砖引玉。

问题一.对于一个给定的空间几何体,它的三视图唯一吗？答案是不一定。如果一个空间几何体的摆放位置确定了，那么它的三视图是确定的；如果摆放的位置不同，它的三视图有可能不同，例如，对球体来说，它是一个特殊的几何体，无论怎样摆放，它的三视图都一样，总是大小一样的圆，而有些几何体却不同，例如，正三棱柱，不同的摆放位置会有不同的三视图，如图1、图2、图3所示，其实2010年新课标全国卷(文）第15题就考察了这一点，题目是：一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)。①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥。正确答案是：①②③⑤。其中三棱柱就是放倒后纵向放，正视图才是三角形。总之，套用苏轼的一首诗可以这样来回答这个问题，那就是横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不知三视是何图，只缘位置未定形。

图1

图2

图3





问题二．同一个三视图能唯一确定一个空间几何体吗？答案是否定的，例如用大小相同的小立方体堆成的组合体，正视图，侧视图，俯视图如图4所示，其中俯视图小方格中的标注的数字表示所在位置小立方体的数目，如果将左下角方格中的数字1改为2，摆放位置不变，那么三视图仍不变，显然组合体不同。人教版必修二教材P22.B组第3题，就是这样一道题目，给了由小立方体构成的组合体的三视图（三个视图一样）如图5所示，问题是，想象组合体的结构特征。教师参考书中给的答案是：是由15个小立方体组成（有图），本题答案不唯一。其实按教师参考书中给的答案，可知小立方体是可以粘连的，而不是堆积成组合体，那么这个组合体最少可由8个小立方体构成，如图6所示俯视图，方格中的数字表示每个小立方体所放的第几层的序号数，当然最多可由27个小立方体构成。因此眼见不一定为实，这正是不为浮云遮望眼，只缘身在最高层。

总之，三视图与空间几何体的对应关系可以是一对一的关系，也可以是一对多的关系，当然还可以是多对一的关系。

2

311

3俯视图

图4

正视图

侧视图

1

213

图5

313

1图6

2



问题三．水平放置的平面图形的直观图画法为斜二测画法，教材中说斜二测画法是一种特殊平行投影，



1


那么怎么个特殊平行投影法才能使得投影后的图形平行性不变，平行于x轴的平行于x轴，平行于y轴的平行于y'轴，而平行于y轴的线段长度变为原来的一半，平行于x轴的线段长度不变？这个问题很是棘手，从正向考虑去寻找符合条件的平行投影光线很难，但是想到司马光砸缸的故事，灵感就来了，我们可以从反向的角度去寻找，这正是我们在解决问题时常用的一个解题策略：正难则反策略。我们可以先让平面图形所在平面与投影面成一定的角度即不平行(如果平行的话，经平行投影图形形状、大小不会改变)，不妨取一种特殊情况，如图7所示，设平面图形所在平面与投影面垂直，正方形ABCD为平面图形,正方形ABEF所在平面为投影面，平行四边形ABC1D1为投影（既直观图），其中AB=2AD1，∠BAD1=450，由图可知，平行投影的光线只要按DD1，CC1方向投影即可。若平面图形所在平面与投影面不垂直，可用同样的方法找到符合条件的平行投影光线，从而知道直观图是用一种什么特殊平行投影得到的。先做出符合条件的图形，然后再由图形去找平行投影光线就易如反掌了。可谓山穷水尽，司马光砸缸启智显威力，柳暗花明，平行投影得来全不费功夫。

'

D

C

_ A

_1A _

C1

_ C

F

D1

A

E

_ B

_ C _ 1

图7

B

_ C

图_ 8

_ B_ 1_ C _ 1

_ A_ B

_1 _ 图 A_ 9

_ B_ 1





问题四．画水平放置的平面图形的直观图和原图形中坐标系的选取有无关系?答案是肯定的，例如一个等腰直角三角形ABC，由于坐标系的选取不同，所画出的直观图也不同，如图8，图9所示，在图8中，△A1B1C1中有一个角为450，而在图9中，△A1B1C1有一个角为1350，所以这个三角形没有450角，故两直观图不同。所以说水平放置的平面图形的直观图和原图形中坐标系的选取有关，准确的说直观图与坐标系的关系就是一种“函数关系”。

问题五．可以说直观图随坐标系的选取不同而改变(包括不变)，但当我们 做练习时发现，若三角形的一边与x轴 平行时，直观图的面积是原图形面积的

2

倍，若正方形一边与x轴平行时，直观图的面积4

也是原图形面积的

2

倍，是巧合还是普遍规律呢？经过本人的探究发现，直观图的面积是原图形面积的4

2

倍，和此图形是三角形还是正方形无关，也与平面图形是否有一条边与x轴平行无关。现正明如下：4

① 如果三角形的一边与x轴平行，那么它的直观图一边也和x轴平行，且长度不变，而根据斜二测画法的规则，直观图中以平行于x轴的边为底的高是原图形中平行于x轴的边为底的 高的

'

'

1

sin倍，所以直24

观图的面积是原图形面积的

2

倍；②如果三角形的三边都不平行于x轴 ，我们可以过三角形的一个顶4

点做一条线段使其平行于x轴，且将三角形分割成两个三角形，根据①的结论可证得直观图的面积是原图



2


形面积的

2

倍；③如果平面图形是个多边形，我们可将此图形分割成若干个三角形，根据②的结论知，4

2

倍。总之，在斜二测画法规则下，直观图的面积和原图形面积的关系是：4

2

倍，和平面图形的形状及坐标系的选取无关。这真是特殊探路来观看，4

直观图的面积是原图形面积的

直观图的面积是原图形面积的

化归思想来检验，变中寻求不变量，面积关系新发现。

问题六．为什么学习了空间几何体的三视图画法，还要学习直观图画法？回答这个问题时使我想起了高一上学期学习的函数，函数表示法共有三种：解析式法、图像法、列表法，这三种表示方法，它们从不同侧面表示了函数，并各有优点，解析式法简洁，变量间关系明显，图像法直观，列表法求值一目了然。更何况不是所有函数都能用这三种形式表示，因此它们都有存在的价值。那么关于三视图和直观图也是同样，它们是在平面上表示空间图形的两种不同形式，三视图和直观图可以帮助我们从不同的侧面，不同的角度对几何体结构特点进行认识，三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图我们可以得到一个精确地空间几何体，正是三视图的这个优点使它在生产活动中得到广泛应用（零件图纸，建筑图纸等都是三视图）；直观图是对空间几何体的整体刻画，人们可以根据直观图的结构易想象实物形象。我们买楼房就是这样，要看布局，则要看它的三视图中的俯视图，而看楼房盖的漂不漂亮，看的则是广告牌或宣传单上的直观图。要想精细看三视，要想看整体结构最好直观图来说话。

问题七．在刚学习完直观图之后，在学习空间几何体的表面积与体积一节时，又有困惑产生了, 若设正方体的棱长为a，在根据正方体的直观图计算正方体的体积时，底面积是按直观图的面积

22

a来计算，4

还是按正方形面积a来计算？其实就直观图来说，面积就应该按

2

22

a来计算，而底面是一个锐角为4504

的平行四边形，而不是正方形；但无论是我们根据空间几何体的直观图计算几何体的表面积和体积，还是今后我们根据空间几何体的直观图来研究空间几何体的点、线、面位置关系，都要按照空间几何体的实际的长度和角度来计算和研究。就像马戏团猴子穿上人的衣服表演一样，不能因为他穿上了人的衣服而变成了人，只不过是为了好看而已。在平面上画的直观图就好像给空间几何体披上了一层漂亮的外衣，使人们看的直观，有立体感，给人美的享受，但不能因为它是直观图，就在计算空间几何体的表面积、体积和研究位置关系时而 改变了他的真面目。

数学之真在于理性，数学之实在于精准。我们就是要在唯一和不确定之间，虚和实之间，直观感知与理性思维之间，追求卓越，追求严谨。

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