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数学奥林匹克高中训练题（27）
第一试
一、选择题（本题满分36分,每小题6分）
1．(训练题57)若f(x)是R上的减函数,且f(x)图像经过点A(0,3)和点B(3,1),则不等式
f(x1)12的解集为(D)．
(A)(,3) (B)(,2) (C)(0,3) (D) (1,2) 2．(训练题57)若函数f(x)asin2x(a2)cos2x的图像关于直线x等于(C)．
(A)2或2 (B)1或1 (C)1或2 (D)1或2
2
8
对称,则a的值
x2
y21,A(0,1)为短轴的一个端点,M,N为椭圆上相异两3．(训练题57)设椭圆的方程为3
点,若总存在以MN为底边的等腰AMN,则直线MN的斜率k的取值范围是(C)．
(A)(1,0] (B)[0,1] (C)(1,1) (D)[1,1] 4．(训练题57)f(x)是定义在R上的函数,且对任意的x满足f(x1)f(x)．已知当
x(2,3]时,f(x)x．那么,当x(2,0]时,f(x)的表达式为(C)．
x4,x(2,1]
(A)f(x)x4 (B)f(x)
x2,x(1,0]
(C)f(x)
x4,x(2,1]x1,x(2,1]
(D)f(x)
x3,x(1,0]x3,x(1,0]
5．(训练题57)已知ABCDA1B1C1D1是边长为１的正方体,P为线段AB1上的动点,Q为底面
ABCD上动点．则PC1PQ的最小值为(A)．
(A)1
215 (B)3 (C)2 (D) 222
)．则an
2
6．(训练题57)已知在数列{an}中,a11,Sn为前n项的和,且满足Snnan(n1,2,
的表达式为(D)．
(A)
1121
(n3) (C)(n4) (D) (n2) (B)
n(n1)2(n1)n(n1)n2
二、填空题（本题满分54分,每小题9分） 1．(训练题57)在ABC中,ADBC于D,且2．(训练题57)已知函数y3 ．
3．(训练题57)集合A{x|a4xxa(x1)},B{x|x
2
2
AD1ACAB
的最大值为 13 ． ．则
BC3ABAC
ax
的反函数图像关于点(1,4)成中心对称．则实数a的值
xa1
11
},当AB时,a的取22
值范围为 1a2 ．
4．(训练题57)已知线段AD//平面,且到平面的距离等于８,点B是平面内的一动点,且满足AB10．若AD21,则点D与B距离的最小值为 17 ．
5．(训练题57)已知多项式x2x1整除多项式ax5bx41．则实数a 3 ,b
5 ．
6．(训练题57)设S[1][2][3]数。则[S]值等于 242 ．
三、(训练题57)(本题满分20分)已知ABC的三内角平分线分别为AA1,BB1,CC1．若向量
[2002],其中[n]表示不超过n的最大整
AA1,BB1,CC1满足关系AA1BB1CC10,试证:ABC为正三角形．
四、(训练题57)(本题满分20分)已知数列{an},Sn表示其前n项和．若满足关系
Snann23n1,求数列{an}的通项公式an的表达式．(an2n
1) 2n
五、(训练题57)(本题满分20分)已知椭圆的半长轴为a,半短轴为b,短轴的一个端点为O,P,Q为椭圆上异于点O的任意两点,OPOQ．若点O在线段PQ上的身影为M,试求点M的轨迹．
第二试
一、(训练题57)(本题满分50分)如图,已知在RtABC中,ACBC,C90,O为斜边AB的中点,CH为斜边
o
C E G
H
F O
A
AB上的高,延长CH到D,使得CHDH,F为中线CO上
任意一点,过B作BEAF的延长线于E,连结DE交BC于G．求证:CFGF．
D
x
二、(训练题57)(本题满分50分)设x0．求函数f(x)
11
[x][][x][]1
xx
1
x
的值域．其中[x]
表示不超过x的最大整数．
三、(训练题57)(本题满分50分)圆周上分布着2002个点,现将它们任意地染成白色或黑色,如果
从某一点开始,依任一方向绕圆周运动到任一点,所经过的（包括该点本身白点总数恒大于黑点总数,则称该点为好点．为确保圆周上至少有一个好点．试求所染黑点数目的最大值．
本文来源：https://www.wddqxz.cn/0d88368b031ca300a6c30c22590102020640f2cc.html
2022-03-21
