三角形各种心的向量性质

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1、三角形重心的向量性质：OAOBOC0． 2、三角形外心的向量性质：|OA||OB||OC|．

3、三角形垂心的向量性质：OAOBOBOCOCOA． 4、三角形内心的向量性质：aOA+bOB+cOC=0． 证明：内心是内角分线的交点，所以

ABAC

，是AB，AC方向上的单位向量， cb

ABAC

平分BAC， cb

ABAC

共线， cb

ABAC

)， cb

又AO平分BAC， 所以AO与

Fc

O

B

a

D

A

b

E

由共线定理知AO(

ABAC

)AB， 所以AOAB(cb

C

ABACAB

所以AOAB()，

cb

ABACABc2bccosA

cccosAc(1cosA)， cbcb

由于AO在AB方向上的投影是AF，

所以AOAB|AF||AB|

2

2

|OF|rc

c， AAtantan

22

所以

rcA

tan

2

c(1cosA)，

r

所以

A

tan(1cosA)

2

，

A

A22cos2A2sinAcosAsinA， 而tan(1cosA)

A2222cos2

r

所以，

sinA1abcrbc

r，知道根据SbcsinA，

22sinAabc

sin


bc

，

abc

ABAC

)，并整理得：(abc)AObABcAC， 将之代入AO(cb

由于ABOBOA，ACOCOA，

所以

所以(abc)AOb(OBOA)c(OCOA)， 进一步整理即可得证．

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