高数知识点总结

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高数重点知识总结

1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(yax)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。

x2xx

lim1 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：lim

x0x0xx

sinx

4、两个重要极限：(1)lim1

x0x

(2)lim1xe

x0

1

x

1

lim1e x

x

g(x)

x

经验公式：当xx0,f(x)0,g(x)，lim1f(x)

xx0

e

xx0

limf(x)g(x)



例如：lim13xe

x0

1x

3xlimx0x

e3

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：y|x|连续但不可导。 6、导数的定义：lim

x0

f(xx)f(x)

f'(x)

x

xx0

lim

f(x)f(x0)

f'x0

xx0

7、复合函数求导：

dfg(x)f'g(x)•g'(x) dx

例如：yxx,y'

2x2x1 2xx4x2xx

1

1

8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx

x2y21

,2x2yy'0y'例如：解：法(1),左右两边同时求导

x

ydyx

法(2),左右两边同时微分,2xdx2ydy

dxy

9、由参数方程所确定的函数求导：若

yg(t)dydy/dtg'(t)，则，其二阶导数：dxdx/dth'(t)xh(t)

d(dy/dx)dg'(t)/h'(t)

dyddy/dxdtdt 2dxdxdx/dth'(t)

2

10、微分的近似计算：f(x0x)f(x0)x•f'(x0) 例如：计算 sin31


11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：y

sinx

（x=0x

是函数可去间断点），ysgn(x)（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：f(x)sin（x=0是函数的振荡间断点），y数的无穷间断点） 12、渐近线：

水平渐近线：ylimf(x)c

x

1x

1

（x=0是函x

铅直渐近线：若，limf(x)，则xa是铅直渐近线.

xa

斜渐近线：设斜渐近线为yaxb,即求alim

x

f(x)

,blimf(x)ax

xx

x3x2x1

例如：求函数y的渐近线

x21

13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

14、极值点：令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。

15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。

16、拐点的判定定理：令函数y=f(x)，若f"(x0)=0，且x0；x>x0时，f"(x)<0或x；x>x0时，f"(x)>0，称点(x0，f(x0))为f(x)的拐点。

17、极值点的必要条件：令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f'(x0)=0。 18、改变单调性的点：f'(x0)0，f'(x0)不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻点，也可能是不可导点）

19、改变凹凸性的点：f"(x0)0，f''(x0)不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）

20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。 21、中值定理：

(1)罗尔定理：f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得f'()0 (2)拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得

f(b)f(a)(ba)f'()

(3)积分中值定理：f(x)在区间[a,b]上可积，至少存在一点，使得

b

f(x)dx(ba)f()

a


22、常用的等价无穷小代换：

x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex1~2(1x1)~ln(1x)

1

1cosx~x2

2111

tanxsinx~x3,xsinx~x3,tanxx~x3

263

23、对数求导法：例如，yxx，解：lnyxlnx

1

y'lnx1y'xxlnx1 y

24、洛必达法则：适用于“

0”型，“”型，“0•”型等。当0

xx0,f(x)0/,g(x)0/，f'(x),g'(x)皆存在，且g'(x)0，则

xx0

lim

f(x)f'(x)

lim

g(x)xx0g'(x)

例如，

exsinx10excosx0exsinx1limlimlim x0x20x02x0x022

25、无穷大：高阶+低阶=高阶 例如， lim26、不定积分的求法

(1)公式法

(2)第一类换元法（凑微分法）

(3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：1)三角换元：a2x2，可令

x122x33

2x5

x

x22xlim4 5x2x

3

xasint；x2a2，可令xatant；x2a2，可令xasect 2)当有理分式函

数中分母的阶较高时，常采用倒代换x

27、分部积分法：udvuvvdu，选取u的规则“反对幂指三”，剩下的作v。分部积分出现循环形式的情况，例如：excosxdx,sec3xdx

1

t





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