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有理数的概念及分类
有理数一词是从西方传来,在英语中是rational number,而rational通常的意义是“理性的”。有理数,在数学其实就是整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数,负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。 一、有理数的基本运算有: 1.加法运算
减去一个数,等于加上这个数的相反数(符号不同,符号相同的两个数互为相反数,其中一个数叫做另一个数的相反数)。 2.乘法运算
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
特别注意:零除以任一一个不等于零的数,都得零;零无法搞除数和分母;有理数的乘法与乘法就是互逆运算。
在做除法运算时,根据同号得正,异号得负的法则先确定符号,再把绝对值相除。若在算式中带有带分数,一般先化成假分数进行计算。若不能整除,则除法运算都转化为乘法运算。 3.乘法运算
(1)负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。例如:(-2)的3次方= -8,(-2)的2次方=4。
(2)正数的任何次幂都就是正数,零的任何正数次幂都就是零。比如:2的2次方=4,2的3次方=8,0的3次方=0。 (3)零的零次幂无意义。
(4)由于乘方就是乘法的特例,因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算顺利完成。
(5)任何非0数的0次方都是1。
(6)一个数的负数次方=此数正数次方的倒数。例如:5的-2次方=1/25 二、有理数的运算定律有: 1.乘法运算律:
(1)加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变,即a+b=b+a。
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘,和维持不变,
即a+b+c=a+(b+c)。 2.加法运算律:
(1)减法运算律:减去一个数,等于加上这个数的相反数。即:a-b=a+(-b)。 (2)加法结合律:三个数连减至,可以先将两个减至的数相乘,然后再减至,高维持不变,
即:a-b-c=a-(b+c)。
(3)加法交换律:三个数连减至,可以对调两个减数的边线,高维持不变,即为:a-b-c=a-c-b 3.乘法运算律:
(1)乘法交换律:两个数相加,互换因数的边线,内积维持不变,即ab=ba。 (2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数先乘,或者先把后两个相乘,积不变,即abc=a(bc)。
(3)乘法分配律:某个数与两个数的和相加等同于把这个数分别与这两个数相加,再把内积相乘,即a(b+c)=ab+ac。 4.混合运算
有理数的加减乘除混合运算,例如并无括号表示先搞什么运算,按照“先秦九韶,后以此类推”的顺序展开,如果就是同级运算,则按照从左到右的顺序依次排序,如果存有括号则先排序括号内的。
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