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概率知识要点
一、随机事件的概率
1 事件的有关概念
(1)必然事件:一般地,把在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。 简称必然事件
(2)不可能事件:把在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。简称不可能事件
(3)确定事件:必然事件和不可能事件统称相对于条件S的确定事件。
(4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件。简称随机事件
(5)事件及其表示方法:确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A、B、C,…,表示 2 随机试验
对于随机事件,知道它的发生可能性大小是非常重要的,要了解随机事件发生的可能性大小,最直接的方法就是试验
一个试验如果满足下述条件:
(1)试验可以在相同的情形下重复进行;
(2)试验的所有结果是明确可知的,但不止一个;
(3)每次试验总是出现这些结果中的一个, 但是一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果
我们称这样的试验为随机试验 3 频数、频率和概率
(1)频数:在相同条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数。
(2)频率:在相同条件S下重复n次试验,时间A出现的比例fn(A)
nA
称为事件A出现的n
频率
(3)概率:随机事件A的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 4 事件的运算关系 包含关系 相等关系
定义
对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
若BA且AB,则称事件A与事件B相等
符号表示
BAAB
A=B
并事件(和事件) 某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。 AB(或AB) 交事件(积事件) 某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。 AB(或AB)
5 互斥事件与对立事件
(1)互斥 事件A与事件B互斥:AB为不可能事件,即AB,即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。
(2)对立 事件A与事件B互为对立事件:AB为不可能事件,AB为必然事件,即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。 6 概率的几个基本性质
(1)概率P(A)的取值范围:0P(A)1.
(2)必然事件E的概率为1 ,即P(E)1 (3)不可能事件F的概率为0. 即 P(F)0. .
(4)若事件A与事件B互斥时,P(AB)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。
(5)事件B与事件A互为对立事件,则AB为必然事件, 所以P(AB)=P(A)+P(B)=1, 从而P(A)=1 - P(B)
二、古典概型
1、古典概型的概念 (1)基本事件
一次试验中可能出现的每一个结果陈为一个基本事件 (2)基本事件的特点
①任何两个基本事件都是互斥的,一次试验中,只可能出现一种结果,即产生一个基本事件。 ②基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件,任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
(3)古典概型的定义
①试验中所以可能出现的基本事件只有有限个 ②每个基本事件出现的可能性相等
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,检查古典概型。 古典概型是一种特殊的概率模型,其特征有两个:①有限性;②等可能性 2、古典概型的概率计算公式
一般地,如果一次试验中共有n种等可能的结果,那么每一个基本事件发生的概率都是如果事件A包含的结果有m个,那么事件A发生的概率P(A)
1,n
A包含的基本事件个数m
总的基本事件个数n
三、几何概型
1、基本概念:
(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;
构成事件A的测度(面积或体积)
(2)几何概型的概率公式: P(A)
试验的全部结果所构成的总测度(面积或体积)
(3)几何概型的特点:
①无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; ②等可能性:每个基本事件出现的可能性相等
四、条件概率与相互独立事件同时发生的概率
1、条件概率
(1)条件概率的定义:设A,B为两个事件,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率记作P(BA),读作“A发生的条件下B的概率”
注意:已知A发生,在此条件下B发生,相当于AB发生,要求P(BA)相当于把A看做新
n(AB)
n(AB)P(AB)n()
的基本事件空间来计算AB发生的概率,即P(BA) n(A)n(A)P(A)n()
(2)条件概率的性质 ①0P(BA)1
②如果B和C事两个互斥事件,则P(BCA)P(BA)P(CA)
2、事件的独立性 (1)相互独立事件
设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,即P(BA)=P(B),这是我们称两个事件A,B相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件。
一般地,当事件A,B相互独立时,A与B,A与B, A与B也都相互独立
3、独立重复试验
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,每次试验都只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中某事件发生的概率均相等。
(2)在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,
kknk
那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cnp(1p),
k=1,2,…,n
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