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6.4 多边形的内角和与外角和
1.理解多边形内角和公式的推导过程,并掌握多边形的内角和与外角和公式;(重点) 2.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题.(难点)
一、情境导入
多媒体演示:清晨,小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步.
提出问题:
(1)小明是沿着几边形的广场在跑步? (2)你知道这个多边形的各部分的名称吗? (3)你会求这个多边形的内角和吗? 导入:小明每从一条小路转到下一条小路时,身体总要转过一个角,你知道是哪些角吗? 你知道它们的和吗?就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂. 二、合作探究
探究点一:多边形的内角和定理 【类型一】 利用内角和求边数
一个多边形的内角和为540°,则它是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
解析:熟记多边形的内角和公式(n-2)·180°.设它是n边形,根据题意得(n-2)·180=540,解得n=5.故选B.
方法总结:熟记多边形的内角和公式是解题的关键.
【类型二】 求多边形的内角和
一个多边形的内角和为1800°,截去一个角后,得到的多边形的内角和为( ) A.1620° B.1800°
C.1980° D.以上答案都有可能 解析:1800÷180=10,∴原多边形边数为10+2=12.∵一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能加1,∴新多边形的边数可能是11,12,13,∴新多边形的内角和可能是1620°,1800°,1980°.故选D.
方法总结:一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能加1.根据多
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边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键.
【类型三】 复杂图形中的角度计算
如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=( )
A.450° B.540° C.630° D.720°
解析:如图,∵∠3+∠4=∠8+∠9,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠8+∠9+∠5+∠6+∠7=540°,故选B.
方法总结:本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系.根据图形特点,将问题转化为熟知的问题,体现了转化思想的优越性.
【类型四】 利用方程和不等式确定多边形的边数
一个同学在进行多边形的内角和计算时,求得内角和为1125°,当他发现错了以
后,重新检查,发现少算了一个内角,问这个内角是多少度?他求的是几边形的内角和?
解析:本题首先由题意找出不等关系列出不等式,进而求出这一内角的取值范围;然后可确定这一内角的度数,进一步得出这个多边形的边数.
解:设此多边形的内角和为x,则有1125°<x<1125°+180°,即180°×6+45°<x<180°×7+45°,因为x为多边形的内角和,所以它是180°的倍数,所以x=180°×7=1260°.所以7+2=9,1260°-1125°=135°.因此,漏加的这个内角是135°,这个多边形是九边形.
方法总结:解题的关键是由题意列出不等式求出这个少算的内角的取值范围. 探究点二:多边形的外角和定理
【类型一】 已知各相等外角的度数,求多边形的边数
正多边形的一个外角等于36°,则该多边形是正( ) A.八边形 B.九边形 C.十边形 D.十一边形
解析:正多边形的边数为360°÷36°=10,则这个多边形是正十边形.故选C. 方法总结:如果已知正多边形的一个外角,求边数可直接利用外角和除以这个角即可. 【类型二】 多边形内角和与外角和的综合运用
一个多边形的内角和与外角和的和为540°,则它是( ) A.五边形 B.四边形 C.三角形 D.不能确定
解析:设这个多边形的边数为n,则依题意可得(n-2)×180°+360°=540°,解得n=3,∴这个多边形是三角形.故选C.
方法总结:熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理,解题的关键是由已知等量关系
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