导数的全部答案.

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导数1

1.

x+3在点（1, 3）处的切线方程为

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题： 计算题.

分析： 先求出导函数，然后将 x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程， 最后化成一般式即可.

2

（ 2012?广东）曲线y=x -2x- y+仁0 .

3

解答： 解：y=3x- 1 令x=1得切线斜率2

所以切线方程为y-3=2 （x - 1） 即 2x - y+1=0 故答案为：2x - y+仁0

点评： 本题主要考查导数的几何意义： 式，属于基础题.

2. __ （ 2014?江西）若曲线y=xl nx上点P处的切线平行与直线 2x - y+仁0,则点P的坐标是 （e, e .

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题：导数的综合应用.

分析： 求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论. 解答： 解：函数的定义域为（0, + a）, 函数的导数为 f' （x） =lnx+x・=1+lnx ,

在切点处的导数值为切线的斜率、 考查直线的点斜

2

x

直线2x - y+仁0的斜率k=2 ,

•••曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线 2x - y+仁0, /• f ' （x） =1+ Inx=2 ,

即 Inx=1，解得 x=e，此时 y=eIne=e, 故点P的坐标是（e, e）, 故答案为：（e, e）

点评： 本题主要考查导数的几何意义， 义.

2

以及直线平行的性质， 要求熟练掌握导数的几何意

3.

（x） =x - 2lnx的单调减区间是



（ 2014?威海一模）函数 f （0, 1）.

••• f( x) =2x「亠^ —

考点： 利用导数研究函数的单调性.


专题： 计算题；导数的概念及应用. 分析：



2

依题意，可求得f(x) -

2

2 (K+1 )

• (Y — 1) ■ , 由 f(x)v 0即可求得函数f (x)

=x - 2lnx的单调减区间. 解答：

解：T f (x) =x - 2lnx ( x>0),


令 f (x)v 0 由图得：Ov XV 1.

•••函数f ( x) =x - 2lnx的单调减区间是(0, 1). 故答案为(0, 1).

点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题.

2



考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数单调性的性质. 专题： 计算题；函数的性质及应用.

分析： 可先利用导数判断函数的单调性，再利用单调性求最值. 解答： 解：y=i - 2sinx=O，在区间［0, 一］上得x=—

2 6

故y=x+2cosx -二在区间［0, 一］上是增函数，在区间［一，一］上是减函数，

6 6 2

• x=一时，函数y=x+2cosx -｛］在区间［0, 一］上的最大值是 ——,

6 2 6

故答案为：".

6

点评： 本题考查利用函数的单调性求最值、导数的应用、三角函数求值等，难度一般. 5、(江苏省睢宁县菁华高级中学

2014届高三12月学情调研)10、已知函数f(x),g(x)满

足 f ⑴=2, f (1)=1, g⑴=1, g(1)=1，则函数 F(x)=［f (x) -1］ g(x)的图象在 x=1 处 的切线方程为 ▲

. 2x-y- 1 = 0

3

2

例 1. (2014?广西)函数 f ( x) =ax+3x+3x ( a老). (I) 讨论f (x)的单调性；

(H)若f (x)在区间(1, 2)是增函数，求a的取值范围.

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值. 专题：导数的综合应用.

分析： (I)求出函数的导数，通过导数为 (x)的单调性；

(H)当a> 0, x> 0时，f (x)在区间(1, 2 )是增函数，当 av 0时，f (x)在区间(1, 2)是增函数，推出f'( 1) S0且f (2) ◎即可求a的取值范围.

3 2 2

0,利用二次函数的根，通过 a的范围讨论f

解答： 解：(I)函数 f (x) =ax +3x +3x , • f' (x) =3ax +6x+3 , 令 f( x) =0,即 3ax +6x+3=0 ,则厶=36 (1 - a)

① ___________________________________________________________ 若a> 1时，则△ v 0, f ' (x)> 0,「. f (x)在R上是增函数；

____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________



② 因为a用，•当a<1, △ >0, f'(x) =0方程有两个根，X1 当 0v av 1 时，则当 x€ (- a, X2)或(X1, +1 时，f ' (x)> 0,故函数在(- a, X2) 或(X1 , +a)是增函数；在(X2, X1)是减函数； 当 av 0 时，则当 X € (- a, x1)或(X2, + a) , f (x) V 0，故函数在(-a, x1 )或(X2, + a)是减函


数；在(X1, X2)是增函数；


2

(H) 当 a> 0, x > 0 时，f' (x) =3ax +6x+3 > 0 故 a>0 时，f (x)在区间(1, 2)是增函 数， 当av 0时，f (x)在区间(1, 2)是增函数， 当且仅当：f' (1)为且f' (2)为，解得- a 的取值范围［• ： . I.I)U( 0, +8).

4

点评： 本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量 的范围，考查分类讨论思想的应用.

例 2. (2014?陕西)设函数 f ( x) =l nx+£ , m €R.

X

(I) 当m=e (e为自然对数的底数)时，求 f (x)的极小值； (n)讨论函数 g (x) =f' (x)-'零点的个数；

3

(川)若对任意 b>a>0, -------- ------- - -- v 1恒成立，求 m的取值范围.

b a

考点： 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点. 专题：导数的综合应用.

分析： (I) m=e时，f (x) =lnx+丄，利用f'(x)判定f (x)的增减性并求出f (x)的

x 极小值；

(n)由函数 g (x) =f'(x )-丄，令 g ( x) =0，求出 m；设 $ (x) =m，求出 $ (x)的

_

3

值域，讨论m的取值，对应g (x)的零点情况；

(川)由b>a> 0, -------- ------- v 1恒成立，等价于 f (b)- bv f ( a) - a恒成立；

b ~ a

即h (x) =f (x)- x在(0, + a)上单调递减；h' (x) O，求出m的取值范围. 解答： 解：(I)当 m=e 时，f (x) =l nx+—,



•••当 x€ (0, e)时，f' (x)v 0, f (乂)在(0, e)上是减函数； 当 x€ (e, +a)时，f' (x)> 0, f (乂)在(e, + 上是增函数; • x=e 时，f (x)取得极小值 f ( e) =lne+—=2 ； e (n)v函数 g (x) =f (x)- '=— -

1

- (x>0),

J

3 x 3

I 3

令 g (x) =0,得 m= - -x +x (x > 0)；

•丿

(X 为),

2


•••$'( x) = - x +1= -( x - 1) (x+1 )； 当 x€ (0, 1)时，$ '(x) > 0, $ ( x)在(0,

1) 上是增函数,




当 x€ (1 , + © 时，『(x)v 0, 0(幻在(1, x=1是0 + g)上是减函数; ( X)的极值点，且是极大值点， ••• x=1是0 (x)的最大值点， ••• 0 (x)的最大值为 0 (1)='；

3

又0 (0) =0,结合y= 0 (x)的图象，如图； 可知： ① 当m>时，函数g (x)无零点；

3

② 当m=W时，函数g (x)有且只有一个零点；

2

③ 当0v mv-2

时，函数g (x)有两个零点；

■丿 ④ 当m切时，函数g (x)有且只有一个零点； 综上，当m>时，函数g (x)无零点；

3

当m=—或m<0时，函数g (x)有且只有一个零点；

3

当Ov mv—时，函数g (x)有两个零点；

3

(川)对任意 b>a>0, ------------ ——一v 1恒成立,

b- a

等价于f ( b)- bv f (a) - a恒成立； 设 h (x) =f (x)- x=lnx+— - x (x > 0),

x

• h (x)在(0, +

上单调递减；

x) = - —- 1 切在(0, + g)上恒成立，

2

I?〕

• mA x +x= —

—

+ (x > 0),

2

4

• m》；

4

对于m=」，h' (x) =0仅在x=」时成立；

4

2

• m的取值范围是［,+g).

4

点评： 本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题. 1 一 x

例3、已知函数f(x)= lnx+ ，其中a为大于零的常数.

ax


(1) 若函数f(x)在区间［1 ,+g)内不是单调函数，求 a的取值范围; (2) 求函数f(x)在区间［e, e］上的最小值.

2


ax— 1

⑴由已知，得和W在乩+E上有解，即尸丄在乩+«）±<解，

X

冥丫当JTE⑴+ °°）时* -<1J所UA a又a>0，所以占的取值范圉是（0* 1）■…讦分

x

（2）①£爭朮因为f 3>0衽6眄上H成立，这时衽简 韵上曲増函飙

所以当 尸* 时，fix）fM =1+^—^ -■…8 分

J

②当0< 因为f （JT） <0在（创N）上恒威立，这时fGr）在［创J］上为减函数,

所以，当 尸/时‘ /U）_=/V）=2+L^ —二^L^l；iQ 分

WWVWWWiAAAr

QC'

③当令 f （x）= o 得，（&J e"） i

e e

a

乂因为对于xG （e・丄）有f （x）<0i

a

对于 JC€ （丄‘ J）有 /，Cr）X）i

a 所以当

&

Ax） aj-—Z'C^） ~ ln-+1—i- ■ * .... 14 分

& 宜 s

综上，f（r）在4刃上的最小值为

（1-e

1+=^，嚼乞时.

1

M

e

/= ln~* 1 ——,爭Zvovl时* ........... ........ ..16 4'

］一4

v ae-

1 l

2 --- - . 4 0 < <—a4 -

导数1作业

1、 曲线y =2ln x在点（e,2）处的切线与y轴交点的坐标为 ___ （0,0）

2、 （ 2013?广东）若曲线 y=kx+Inx在点（1, k）处的切线平行于 x轴，则k= - 1 . 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题：导数的综合应用.

分析： 先求出函数的导数，再由题意知在 ， ］

解答： 解：由题意得，y=k+=

1处的导数值为0,列出方程求出k的值.

x

•••在点（1, k）处的切线平行于 x轴，


/• k+1=0，得 k= - 1, 故答案为：-1.

点评： 本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大. 3、 （2014年江苏高考）在平面直角坐标系

b 2

xOy中，若曲线y二ax（a,b为常数）过点


P(2, -5)，且该曲线在点 P处的切线与直线7x 2y ^0平行，则a b的值是_▲

【提示】根据 P点在曲线上，曲线在点

P处的导函数值等于切线斜率，

y = 2ax ,

x

b

T，将

p(2

f



3

a =

2

，解得家 2，

b7

4a— = — b=2 4、 过坐标原点作函数 y = lnx图像的切线，则切线斜率为 ______ •-

e

一一 一 1

5、 (江苏省如东县掘港高级中学 2014届高三第三次调研考试)

函数y 2ln x的单调减

，—)带入得

5

-5 = 4a

2

x

1

区间为 __________ (0,丄)

2

3

2

6. ( 2011?广东)函数f (x) =x - 3x +1在x= 2 处取得极小值. 考点：利用导数研究函数的极值. 专题： 计算题.

分析： 首先求导可得f' (x) =3x- 6x，解3x- 6x=0可得其根，再判断导函数的符号即 可.

2

2

2

解答： 解：f' (x) =3x - 6x 令 f( x) =3x- 6x=0 得 X1=0, X2=2 且 x€( — 0

故f (x )在x=2出取得极小值. 故答案为2.

点评： 本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查.

x

x

2

0)时，f '(x) > 0; x€( 0, 2)时，f '(x )v 0; x€( 2, + 时，f' (x)>

7. ( 2013?江 西)设函数 f (x )在(0, + s)内可导，且 f (e ) =x+e，则 f( 1) = 考点： 导数的运算；函数的值.

专题： 计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用. 分析： 由题设知，可先用换元法求出

f ( x)的解析式，再求出它的导数，从而求出

x

x

2 .

f'(1)

解答： 解：函数f (x)在(0, + s)内可导，且f (e) =x+e, 令 e =t，则 x=lnt，故有 f (t) =lnt+t，即 f (x) =lnx+x f ' (x) =—+1，故 f' (1) =1+仁2

x

故答案为2

点评： 本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型 & (江苏省南京市第一中学

2014届高三12月月考)已知R上的可导函数f (x)的导函数

1


f (x)满足：f (x)

是 ________ . (1「：)

• f (x) 0，且 f (1) =1 则不等式 f (X) • R 的解

e

9. ( 2013?畐建)已知函数 f (x) =x - alnx ( a€R)


(1 )当a=2时，求曲线y=f (x)在点A (1, f (1))处的切线方程； (2) 求函数f (x )的极值.

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值. 专题：导数的综合应用.

分析： (1 )把a=2代入原函数解析式中，求出函数在 程的点斜式写直线方程；

(2)求出函数的导函数，由导函数可知，当 数的单调性得到函数的极值.

解答：解：函数f (x)的定义域为(0, +R),；

・-

_

x=1时的导数值，直接利用直线方

aO时，f'( x )> 0,函数在定义域(0, + %)

上单调递增，函数无极值，当 a>0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段， 利用原函

.

x

(1 )当 a=2 时，f (x) =x - 2lnx，-,

x

因而 f (1) =1, f' (1) = - 1,

所以曲线y=f (x)在点A (1, f (1))处的切线方程为 y -仁-(x - 1), 即 x+y - 2=0

(2 )由• ' | ., =1

, x> 0 知：

① 当a切时，f'(x)> 0，函数f (x)为(0, +呵上的增函数，函数 f (x)无极值； ② 当a> 0时，由f' (x) =0，解得x=a .

又当 x€ (0, a)时，f' (x)v 0,当 x€ (a, + ①时，f' (x)> 0. 从而函数f (x)在x=a处取得极小值，且极小值为 综上，当aO时，函数f (x)无极值；

当a>0时，函数f (x)在x=a处取得极小值a- alna,无极大值. 点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程， 值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题.

考查了利用导数研究函数的极

f (a) =a- alna,无极大值.

V -V

10、(2014年江苏高考)已知函数

f(X)=

+「.，其中e是自然对数的底数。

(1)证明：f(X)是R上的偶函数；

若关于x的不等式m f(x).



+m 1 在（0, + )上恒成立，求实数 m的取值范

围;

(3 )已知正数a 满足:存在X。卜［1 , +川)，使得f(Xo)〈g ( X。 +3X0)成立，试比较

3



(x) ,••• f (x)是R上的偶函数


(2)

•/ f(X)二护 +

(f(x) 一 」_1,「m _=「：,

1

-/w-r

e _+e 1

令

g(x)

=^7，

g (x)

=「「 ’「」・'时g (x) •'

x

g(x)单调减，x E(［］】2y + C0)时g"(x)g(x)单调增，

g(x) min= g(ln2) =——，若关于x的不等式m f(x)g(2独+m 1在(0，+册)上恒成

J 1 1

立，则只要 g(x) min 恒成立，••• m_ 。二 m-(一'：工'• ］。

(3)

由题正数a满足:存在Xo 1 ［1 , +爪)，使得f(Xo)〈 0 ( Xo +3xo)成立。即

3



I nnv

y/\

xo +3xo)

§ ( x +3x ),即 h(x) mm( 0。

3

要比较『乙与二-

小。令 = a-1-( e-1) Ina ，

‘ ?—1 3—p+1 y = 1-— a

+

葩i *

-+3a

，当 X - [1，+

时，

h

・ I

min

X ，h(x)

0

= h(1)=e+_ -2a 0，

的大小，两边同时取以 e为底的对数。只要比较 a-1与(e-1) Ina的大

y

—e-1，・・

2 2e

)时y：

：］片y单调增，又••• +

,y单调减，a

_

I


e

: y y

、

当 a=1 时，y=0，二当 a=— + —时，目 0，当 a=e 时，y=0。二 a=e-1 时，y 0。

2 2e

•••当一

+ 二时,

\

2 2e

当 a=e 时 y_0,此时 a-1 _ (e-1)

1、 (苏锡常镇四市2014届高三5月调研(二))直线y = kx与曲线y = 2e相切，则实数k =



x

▲ 2e

2、 ( 2013年江苏高考)抛物线y =x在X = 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 含三角形内部与边界) 是 __________ 。

解：本题主要考察导数的几何意义及线性规划等基础知识。

y= 2x k = y x生=2 切线方程为y -1 =2(x -1)

。若点P(x, y)是区域D内的任意一点，则

2

D (包

x 2y的取值范围

1

与x轴交点为A( ,0)，与y轴交点为B(0,-1),

2 1 0

当直线z = x • 2y过点A(— ,0)时

冷

x

当直线z=x 2y过点B(0,-1)时Zmin



=0 2 (-1) = -2

••• x - 2y的取值范围是|-2,

IL 2

x 1 2 3、曲线 f(x)=±d

e —f(0)x』一x在点(1, f(1))处的切线方程为 e 2

1

2

4. (2009?福建)若曲线f (x) =ax +|nx存在垂直于y轴的切线，则实数 a的取值范围是 {a|av 0}

.



考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题： 计算题；压轴题.


分析： 先求出函数的定义域， 然后求出导函数， 根据存在垂直于 y轴的切线，得到此时斜 率为0,问题转化为x>0范围内导函数-■' I .. I

- I存在零点，再将之转化为 g (x)

x

=-2ax与■-:—存在交点，讨论a的正负进行判定即可.

x

解答： 解：由题意该函数的定义域 因为存在垂直于y轴的切线，

故此时斜率为0，问题转化为x> 0范围内导函数--「；•)

- .1 ；—存在零点.

x>0,由1,1

1

.

X

x

再将之转化为g (x) = - 2ax与h

：-存在交点.当a=0不符合题意，

x

当a> 0时，如图1，数形结合可得显然没有交点， 当av 0如图2,此时正好有一个交点，故有 故答案为：{a|av 0}

av 0.



点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，

3 2 2

函数零点等有关基础知识， 考

查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题. 例 1、(2010?崇文区一模)已知 f (x) =x - 6ax +9a x (a€R). (1) 求函数f (x)的单调递减区间；

(n)当a> 0时，若对？x €［0, 3］有f (x)詔恒成立，求实数 a的取值范围. 考点：利用导数研究函数的单调性. 专题： 压轴题.

分析： (1 )先对函数f (x)进行求导，然后对 a进行分析讨论求f (x)v 0的x的范围. (2)

a的不同范围进行讨论进 而确定其答案.

解答： 解：(I) f' (x) =3x - 12ax+9a=3 (x- a) (x - 3a)v 0

2

2

2

先根据导函数的解析式确定函数 f (x)的单调性，然后根据

(1 )当 a=3a,即 a=0 时，f (x) =3x > 0,不成立. (2) 当a>3a,即av 0时，单调减区间为(3a, a). (3) 当av 3a,即a> 0时，单调减区间为(a, 3a).

2 2

(n) f (x) =3x - 12ax+9a =3 (x- a) (x - 3a), f (x)在(0, a)上递增，在(a, 3a) 上递减，在(3a, +

上递增.


(1 )当a為时，函数f (x )在［0, 3］上递增， 所以函数f (x)在［0 , 3］上的最大值是f (3),




若对?x €［0, 3］有f (x)詔恒成立，需要有 7 ® ©解得a€g

U>3

(2 )当1时，有av 3Wa,此时函数f (x )在［0, a］上递增，在［a, 3］上递减, 所以函数f( x)在［0，3］上的最大值是f( a)，

(f (a) V4

若对?x €［0, 3］有f (x)詔恒成立，需要有*-

解得a=1.

l

(3)当a< 1时，有3> 3a,此时函数f (x)在［a, 3a］上递减，在 所以函数f (x)在［0, 3］上的最大值是f (a)或者是f (3). 由 f (a) - f ( 3) = (a- 3) (4a- 3), ①.一.....'-时，f ( a)夸(3),

2

［3a, 3］上递增,

4

f (3) <4

若对？x €［0, 3］有f (x)詔恒成立，需要有

②'"时，f (>

a)f (3)

,

f (a) <4

若对？x €［0, 3］有f (x)詔恒成立，需要有 产曲解得黃



综上所述，• • .

即当导函数大于0

点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系, 时原函数单调递增，当导函数小于

0时原函数单调递减.

3

★备用(2015届江苏南通市直中学高三9月调研)已知函数f(x)=©-c, g(x) =-ax — bx cx(a, b, c

2

R).

3

2

(1 )若ac ::: 0，求证：函数y =g(x)有极值；

(2)若a =b =0 ,且函数y = f(x)与y =g(x)的图象有两个相异交点，求证： c 1.

1



2

1

T ac :::0 , ••• ==b —4ac 0 且 a=0 . .............................. 4 分 函数g (x)有两个零点，则可设为 g (x)=a(x八)(x - ：)，(「：：-) •••若为：：匚：X2 ：：-：：対，则 g (X1)g(X2)：： 0, g 区)g(X3) ：：0 .

• g(x)有极值. ...................................................... 6分 (2 )由 e -c=cx，得 e -cx-c=0 ,


解：(1 )由 g(x) ax bx cx 得 g (x) =ax bx c,

3 2

3

2

2


记 h(x) =e —ex-c，贝V h(x) =e —c,

由函数y = f (x)与y=g(x)的图象有两个相异交点知函数 h(x)有两互异零点…9分 若cw 0二• h(x) .0,h(x)单调递增，则h(x)最多1个零点，矛盾. ........................ 11分 • c 0 .此时，令 h (x) = 0 ,贝U x =1 n c . 列表：

x

h\x) h(x)



(a,ln c) ln c 0



(ln c,+°o) +

/

一

\

• h(x) min 二 h(ln c) - -cln c ：：0, ................................. • c 1 . 16 分 例 2、(2010?丹东一模)已知函数 f (x) =ax+bx- 3x ( a, b €R)在点(1, f (1))处的切 线方程为y+2=0 .

(I) 求函数f (x)的解析式；

(II )若经过点M (2, m)可以作出曲线y=f (x)的三条切线，求实数 m的取值范围. 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值. 专题： 计算题.

分析： (I)欲确定函数的表达式，先求导数 析式；

(II)先设切点为(xo, yo),根据导数的几何是切线的斜率，列出关于( xo,的一个方程， 然后根据此方程必须有三个不同的实数解，

2

3

2

f(x),再根据导数的几何意义求出切线的

a, b，即可求函数f (x)的解

斜率，最后由函数图象过点(1,- 2)及斜率列出方程求出

结合相应函数有三个不同的零点， 最后利用函数

的极值点列出不等关系即可求实数 m的取值范围. 解答： 解：(I) f (x) =3ax +2bx - 3. (2 分)

ff (1) = - 2 (a+b - 3-- 2

根据题意，得

即

[f (1) =0

解得(E

- 3=0

lb=0

所以 f (x) =x - 3x. (4 分) (II )设切点为(X0, 则 3xo -

2

3

y0),则 y0=x0-3x°, f (x°) =3x。-3，切线的斜率为

3 2

32

3x。-3

2

,即 2x0 - 6x0 +6+m=0 . (6 分)

•••过点M (2, m) ( m吃)可作曲线y=f (x)的三条切线,

3

2

•••方程2x0 - 6x0 +6+m=0有三个不同的实数解，(8分)


3 2

•函数g (x) =2x - 6x +6+m有三个不同的零点， • g (x)的极大值为正、极小值为负(10分)

则 g' (x) =6x - 12x.令 g' (x) =0，则 x=0 或 x=2，列表:

X



(4, 0)

+

如

0 0

极大值

(0, 2)

-

2 0

极，HS 旳-2

(2,

亠

増



6 - m

减 増

由 w"，解得实数m的取值范围是-6v mv 2. (12 分)

I - 2+m<0

点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、 于基础题.

利用导数研究函数的极值、函

数的零点、直线的方程等基础知识， 考查运算求解能力， 考查数形结合思想、化归与转化思 想.属

例3、(2013年江苏高考)设函数 f(x)=lnx-ax , g(x)=e

x

_ax，其中a为实数。

(1 )若f (x)在(1, •：：)上是单调减函数，且 g(x)在(1, •：：)上有最小值，求a的取值范围;

(2)若g(x)在(-1, •：：)上是单调增函数，试求 f (x)的零点个数，并证明你的结论。

解：由f (x) =

1

-a三0即三a对x • (1厂：：)恒成立，••• a max

x x ]x 一

x

1

而由 x E (1,址)知一v 1 • a 31 由 g'(x) = e — a令 g'(x) = 0 则 x = ln a

x

当 x v Ina 时 g'(x) v 0,当 x > In a 时 g'(x) > 0,

••• g(x)在(1, •：：)上有最小值• In a > 1 • a > e综上所述：a的取值范围为(e, •：：)

(2) 证明：••• g(x)在(-1「：)上是单调增函数

•- '

g(x)二e-a 一0 即 a 乞 e 对 (一 1「：：)恒成立，• a< e m

•- a 岂一

e

xxx

in



— 1 1

x

而当 x • (-1, ■：：)时，e >

e

分三种情况：

1

(I)当a = 0时，f '(x)

> 0

• f (x)在x • (0,'

::

)上为单调增函数

x

•/ f(1) =0

• f (x)存在唯一零点


1

(n)当a v0时，f (x)

a >0 • f (x)在x・(0「：)上为单调增函数 x

T f = a - ae* = a(1 - ej v 0 且 f(1) - -a >0「. f (x)存在唯一零点

11, 1

(川)当 0v a 时，f (x)

e

a，令 f (x) = 0 得 x =— x a




f ( ) = ln a ln a -1

a a a a

1

①当 _l n a _1 = 0 时, — ln a-1=0, a , f (x)有唯一零点

e

1 ②当 -ln a -1 >0 时,

0v

a ， f (x)有两个零点

1

e 由于 f($ =l n 实际上，

c 1 e e

1 f』)=l n1

-a ln a -1 >0 a

a

且函数在

,

-a(x— 1

------- - > 0 ； x > —时，f (x) ...当0 v x v 时，f'(x)二 a

—v 0 x a 1

x 1 1 1 为最大值点，最大值为

1

-a(xT)

一1 一旦

(1 1上的图像不间断

a

1

f(x)在-, 上有存在零点

•••函

丿

另外，当x





0,丄】， 1

0,1 上单调增， • f (x)在 宀】

— -a >0,故 f (x)在 < a丿

< a丿 f (x) =x < a丿



有一个零点

f(x)

a

1

a，

：=

f (e )=1 ne

a

1 a…

a-ae =a(a，-eJ

=a In e—ae

.4 -

a1

为此我们要证明：当



x > e 时e > x，设 h(x) =e -x2 ，则 h'(x) =ex - 2x , 再设

，

x2x

l(x) =ex -2x •- l'(x) =ex -2

当 x > 1 时，l'(x)

'

二 e

x

x

-2 > e-2 > 0, l(x)二 e-2x在 1, •::上是单调增函数

'

2

x

故当 x >2 时，h(x)二e -2x > h(2)=e -4>0 从而h(x) = e

- x在2,= 上是单调增函数，进而当x > e时，h(x) = e h(e)二 e

2x2「e > 0 即当 x > e时，e > x,

1 1 1 1

x2xe

当 0v a v — 时，即 a >e 时，f (e ) = lne

aa

-ae

a

alne-ae



a

二a(a^ -e丄)

a

e


又f『)=| n

-a1 =-1 na-1 > 0 且函数f (x)在b ' ,ea_上的图像不间断， a a a

1

1

a

, 1 , _a

(x__)

•••函数f (x)在a ',e—上有存在零点，又当x > —时，f (x)二 -------- - v 0故f (x)在

a x

a」，上是单调减函数.••函数

f (x)在a',r 只有一个零点

1

综合(I)

(n)(川)知：当a乞0时，f (x)的零点个数为1；当0 v a v —时，f (x)的

e

零点个数为2 导数2作业

1. (2014?青岛二模)如图，y=f (x)是可导函数，直线I是曲线y=f (x)在x=4处的切线， 令 g (x)=一:一—，贝V g( 4)=-一 .

z

16—

考点：导数的运算.

专题： 导数的概念及应用.

分析： 先从图中求出切线过的点， 利用导数在切点处的导数值为斜率得到切线的斜率， 后结合导数的几何意义求出 f'( 4)的值，

f f Y)

xf；

( x) - f(X)

由 g (x) = ^ ^ ，则 g' (x)=

，进而得到 g' (4).

解答： 解：由图知，切线过(0, 3)、(4, 5), •直线I的斜率为一

4-0 2

由于曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率， 所以 f' (4) =_, f (4) =5.

2

令g( x)=」’，则g( x)=

匚….

4炖-5 故 g' (4)=

=—令 犷 16

最


故答案为：.

3

点评： 解决有关曲线的切线问题常考虑导数的几何意义: 切线的斜率.

曲线在切点处的导数值为曲线的




2. (2014?河南二模)已知 f ( x) =alnx+二，一 ■-，若对于？xi, X2 € (0, + ① 且 xi 孜2

都有

>4,则a的取值范围是

(4, +8)

2X

考点： 导数的几何意义；导数的运算. 专题： 导数的概念及应用.

分析： 求出f (x)的导数f' (x),根据题意，f'(x) > 4,求出a的取值范围. 解答：解：根据题意， ■/f (x) =alnx+ 1 -,其中 x>0,

2

f(x) =—+x=

2

i「>4,

2

X x

即 a>4x - x=4 -( x - 2) ;

2

••• 4 -( x - 2)詔，当且仅当x=2时，取=”， ••• a> 4;

.a的取值范围是(4, + ^). 故答案为：(4, + ^).

点评： 本题考查了导数的概念以及不等式恒成立问题， (x) > 4,从而使问题得以解答.

3. (2014?苏州一模)函数 y=ex - lnx的值域为 考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的值域. 专题：导数的综合应用.

分析： 本题考查了函数的单调性，函数的值域，利用导数来判断函数的单调性. 解答： 解：定义域为(0 ,+8),卩广二^—丄=竺2，当0

X X

解题时应根据导数的概念，化为f'

［2 , +呵 .

时yV 0,当2<X<+8

E

e

时，y'> 0,

所以函数在区间(0「)上单调递减，在区间(丄I --)上单调递增，所以f(x)A•厂

-.：,

e

所以函数的值域为［2, +8). 故答案为：［2 , + 8).

e e

点评： 利用导函数的正负性判断函数的单调性， 域.

是常考的一种题型，注意要考虑函数的定 义

4、 已知函数f(x)=lnx •— ( m R)在区间［1,e］上取得最小值4,则m二 __________ . - 3e

x

1 3 1 2 5、 (2015届江苏苏州高三 9月调研)函数f x；= ax ax - 2ax 2a 1的图象经过

3 2

四个象限的充要条件是

▲

- ：：： a ：：： -

63

5 16

3

2


6、 (江苏省阜宁中学 2014届高三第三次调研)若函数 f x二x • ax • bx • c有极值点

2

X1,X2，且f X1 =X1，则关于 x的方程3 f x 2af x b=0的不同实根个数是




7、某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为 4米，这种薄板须沿其对

角线折叠后使用.如图所示，

ABCD(AB AD)为长方形薄板，沿 AC折叠后，AB ■交DC于

点P.当厶ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD的面积最大时制冷效果最好. (1 )设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围； (2) 若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ (3) 若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

解：(1 )由题意， AB=x , BC=：2-x .因 x .2-x，故 1 ：：： x ：：： 2 . ...... 2 分 设 DP =y，贝U PC 二x_y .

因厶 ADP ◎△ CBP，故 PA = PC =x _y .

由 PA2

=AD2

DP2

，得 (x -y)2

=(2 -x)2

y2

= y =2(1 -1

) , 1 ：：： x ：：： 2 .……5 分 x (2 )记厶ADP的面积为S1，贝V

S (122

2 _2 2 ,

= -g)( - x) ....................................................... 6 分 =3 _(x )岂x 当且仅当x-、2 € (1, 2)时，S1取得最大值. ............................. 8分 故当薄板长为，2米，宽为2- ,2米时，节能效果最好. .............. 9分

(3) 记厶ADP的面积为§，贝V

3 Jx(2 -x) (1 -\(2 -x) =3-］(x2 4

) , 1 < x ::: 2 . .......................... 10 分

2 x 2 x 于是， S2=_1

(2X -- ) =

f 2十

2

= 0二 x = *2 . ........................ 11 分

2 x

x

关于x的函数S(1,3

2)上递增，在(3

2在2,2)上递减. 所以当X=3

2时，S,取得最大值.

.................. 13分

故当薄板长为3

2米，宽为2-3

2米时，制冷效果最好.

................

& (2012年江苏高考)若函数 y = f (x)在X =X0处取得极大值或极小值，则称 x

0

为函数

y = f(x)的极值点。已知 a, b是实数，1和T是函数f(x)=x3 ax2 bx的两个极值点.

(1 )求a和b的值；

(2) 设函数g(x)的导函数g (x)二f (x) • 2，求g(x)的极值点；

(3) 设h(x)二f (f (x)) -c，其中［-2,2］，求函数y =h(x)的零点个数. 解：(1 )由 f (x) =x3

ax2

bx，得 f'(x^3x2

2ax b。

•/ 1和-1是函数f(X)= x3 - ax2

bx的两个极值点，


••• f(1) =3 2a b=0 , f'(-1) =3 -2a b=0，解得 a=0, b= -3。

(2)v 由(1)得，f (x) =x -3x ,

3

2

3

• g (x) = f (x) 2=x - 3x 2= x - 1 i i x 2，解得为=x2 =1, x3= - 2。 •••当 x< ^2 时，g (x)< 0 ;当-2 < x< 1 时，g (x)> 0 , • x= -2是g(x)的极值点。

•••当-2 < x < 1 或 x > 1 时，g (x) > 0，• x=1 不是 g(x)的极值点。 • g(x)的极值点是一2。

(3) 令 f (x)=t，则 h(x)二 f (t) -c。

先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况：d 1-2, 2丨

当|d =2时，由(2 )可知，f(x)= -2的两个不同的根为I和一 2 ,注意到f(x)是奇函数, • f (x)=2的两个不同的根为一和 2。

当 d < 2 时，••• f(—1) —d = f(2) —d=2 —d > 0 , f (1) —d = f(―2) —d= —2 —d < 0 ,

• 一 2 , - 1, 1 , 2 者E不是 f(x)=d 的根。 由(1)知 f (x)=3 x 1 x -1 。

① 当2, •：：时,

f'(x)> 0 ，于是f (x)是单调增函数，从而 f (x)> f (2)=2。





此时f(x)=d在2, •::无实根。



② 当 xG〕1, 2 时. f'(x)> 0 , 于是f(x)是单调增函数。 又• f(1)-d < 0 , f (2) -d >

,y=f (x) -d的图象不间断，

•• 0





• 1 F(x)=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。



同理，f(x)=d在(— 当X三1 1, 1③

时，

2 , 一 I )内有唯一实根。



f' (x) <

于是f (x)是单调减两数。 0 ,

又f(1) -d

-f (-1)-d> 0 , 0 , y=f (x) - d的图象不间断， •• < • 1 f(x)=d 在(一 1, 1 )内有唯一实根。







因此，当d =2时， f (x)=d有两个不同的根xb x2满足|x1 =1,

x2 =2 ；当 d < 2 时


f(x)=d有三个不同的根X3, Xi, X5，满足x < 2, i=3, 4, 5。

现考虑函数y =h(x)的零点：

(i )当c =2时，f(t)=c有两个根t, t?，满足 ti =,2 =2。

而f(x)=ti有三个不同的根， f(x)=t2有两个不同的根，故 y=h(x)有5个零点。 (11 )当 c < 2 时，f(t)=c有三个不同的根 t3, t4, t5，满足 ti <2，i=3, 4, 5。 而f (x)=ti i=3, 4, 5有三个不同的根，故 y=h(x)有9个零点。

综上所述，当c=2时，函数y=h(x)有5个零点；当c < 2时，函数y=h(x)有9个零点。 ★备用(南京市 2014届高三第三次模拟)已知函数 f(x)= Inx— mx ( m € R). (1) 若曲线y= f(x)过点P(1, — 1)，求曲线y= f(x)在点P处的切线方程； (2) 求函数f(x)在区间［1, e］上的最大值； (3)

若函数f(x)有两个不同的零点 X1, X2,求证：X1X2>e.

4

3

解：(1)因为点P(1, — 1)在曲线y = f(x)上，所以—m = — 1，解得m= 1.

1

因为f'x(= - — 1,所以切线的斜率为 0,所以切线方程为 y=— 1. ................. 3分

X (2)因为 f'x)=丄—m = S.

x

x

① 当m < 0时，x€ (1, e), f'x)> 0，所以函数f (x)在(1, e)上单调递增，则f (x) max = f (e) =1 — me.

1 m

=f (e)= 1 — me. m w -时，x€

(1, e), f'x(> 0,所以函数f (x)在(1, 1 e

② 当

一>

................. 5 分 e,

即0 v

e)上单调递增，则f (x)max

1 1 1 1

③ 当1 v m^v e,即mv 1时，函数f(x)在(1,和上单调递增，在(二,e)上单调递减， 则 f (x) max= f(1)=— Inm— 1 .

.................. 7 分

1

④ 当 1, 即卩 m > 1 时，x€ (1, e), f'x)v 0，函数 f (x)在(1, e)上单调递减，则 f (x) max=



3

②当 一< mv 1 时，f (x)max =— Inm— 1;

e


f

(1) =— m.

................ 9分

1

综上，①当 m w 一时，f (x)max= 1 — me;

e


③当 m > 1 时，f (x)max =— m. 10分

(3)不妨设 Xi>X2> 0 .因为 f(Xi)= f(X2)= 0，所以 InX1— mxi= 0, Inx2 — mx2= 0, 可得 lnx1 + lnx2= m(x1 + x2), |nX1— Inx2= m(x1 — x2).

要证明 X1X2>e，即证明 Inx1 + InX2> 2,也就是 m(X1 + X2) >2.

Inx1 — Inx2



2

Inx1 — Inx2+ x，即 In艺 >坐+孚. X1 + 2 X2 X2 X1 + X2

因为m = PT，所以即证明 PT >

12分

tIntX1 t

令三=，则 > J于是 >響 X2



令 cp(t)= Int — ®'(t)=-

2(t — 1)

(t > 1)，则

t (t + 1) t(t + 1) t

t + 1

故函数(t)在(1,+^)上是增函数，所以 (t)> (1) = 0，即lnt>2$严成立. 所以原不等式成立.

9、(南通市2014届高三第三次调研)已知函数 (1) 求实数a的值；

(2) 是否存在区间Im, n ］，使得f (x)在该区间上的值域为［em,en］ ?若存在，求出m，n的 值；

若不存在，说明理由.

解(1) f (x) =e(x -a)(x -a 2)， 由题意知「(2) =0，解得a=2或a=4 . 当 a =2 时，f (x) =ex(x —2)，

易知f(x)在(0,2)上为减函数，在(2,；)上为增函数，符合题意； 当 a =4 时，f (x) =e(x -2)(x -4)，

易知f(x)在(0,2)上为增函数，在(2,4)，(4,；)上为减函数，不符合题意. 所以，满足条件的 a =2 .

(2)因为 f(x) > 0，所以 m > 0 .

4

2n

XX

X

4

4

2X

16分

f(x)=(x-a)e在x =2时取得极小值.

.................... 2分

.................... 5分 .................... 7 分

4

① 若 m =0，则 n > 2，因为 f (0) =4 ::: en，所以(n -2)e =en . 设 g(x)=4e(x> 2)，则 g(x)=

X

X

........ 9 分

口

- X

X




所以g(x)在[2,；)上为增函数.

由于g(4) =e4

，即方程(n -2)2en

=e4

n有唯一解为n =4 . ....................... ② 若 m 0，则 2 ■- |m,n ],即 n . m . 2或 0 ：：： m ：：： n ：：： 2 .

2 m 4

([)n . m 2 时,

f(m) =(m -2) e e m



2 n 4

，

由①可知不存在满足条件的f (n) =(n -2) e e n m, n .

2 m 4

(n) 0 :：: m ::: n ::: 2 (m 时，

— 2) e e n 两式相除得 2 m / 2 n

2 n

4

m(m—2) e n(n 2) e

(n -2) e e m

设 h(x) =x(x -2)2ex

(0 ：：x ：：：2),

3

2

x

x

则 h(x)=(x - x - 4x 4)e =(x 2)(x-1)(x - 2)e , h(x)在(0,1)递增，在(1,2)递减，由 h(m) =h(n)得 0 ：. m ::: 1 , 1 ：：： n ：：： 2 , 此时(m —2)2em

：：：4e ::: e4

n，矛盾.

综上所述，满足条件的 m,n值只有一组，且 m=0,n =4 . ...............

11分

13分

16分

本文来源：https://www.wddqxz.cn/08b7c0662d3f5727a5e9856a561252d380eb20fd.html