余弦定理

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余弦定理

【学习目标】

1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理及证明余弦定理的向量方法；

2.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

【学习重点】

余弦定理的发现、证明过程及基本应用

【学习难点】

用向量方法证明余弦定理

【课前预习案】

1.问题探究

在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b. ∵AC， ∴AC•AC

同理可得：a2c2

2.余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．

★思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

从余弦定理，又可得到以下推论：

A

bc

C

aB

cosAcosBcosC

★若C=90，则cosC，这时c2a2b2 3.余弦定理及其推论的基本作用:

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角．


【课堂探究案】

探究一：利用余弦定理判断三角形形状

1. 能否根据三角形各内角余弦值的正负判断三角形的形状？ 有个角的余弦值小于零，那就是 有个角的余弦值等于零，那就是 三个角的余弦值都大于零，那就是

2.在ABC中，若a2b2c2，则ABC是直角三角形且C90。试用余弦定理分析：在ABC中，三条边a,b,c满足什么关系时，ABC是锐角三角形或钝角三角形？

设最长边为c，那么判断角C即可 若a2b2c2，则ABC是三角形 若a2b2c2，则ABC是三角形 探究二：利用余弦定理解三角形

(1)已知三角形的两边及夹角解三角形,可以先由余弦定理求出第三条边,再由正弦定理求出一角,最后由A+B+C=180°,求出第三个角.

(2)已知三角形的三边,可由余弦定理求三角形的两个内角,再由A+B+C=180°求出第三个角.

【课后检测案】

1.在ABC中，已知a2,b2,c31，求A。

2

2.在ABC中，已知a6,b3,C，求c。

3

3.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求cosC

4.已知锐角三角形的边长分别为2,3,x，则第三边x应适合（ ） Ａ.1x5 Ｂ.5x13 Ｃ.13x5 Ｄ.1x5 5.已知△ABC的三边长a3,b5,c6，求△ABC的面积

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