角平分线定理

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角平分线定理

角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条 相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

■三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的 点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射

射线，把这个角分成两个



■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的 距离相等！（即内心）。

■定理1:在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相 等的点在这个角的角平分线上。

■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两 邻边对应成比例，

女口：在厶 ABC 中，BD平分/ ABC 贝U AD DC=AB BC 提供四种证明方法：

已知，如图，

ABC的角平分线，求证 AB/ AC=M^ MC



已知和证明 1图

证明：方法1：(面积法)

SAABM=(1/2) • AB- AM- sin / BAM, SAACM=(1/2) • AC- AM- sin / CAM, ••• SA ABM SA ACM=AB:AC

又厶AB M和AACM是等高三角形，面积的比等于底的比,




证明2图

即三角形 ABM面积S:三角形 ACM面积S=BM:CM

••• AB/ AC=MB^MC 方法2 （相似形）

过C作CN|| AB交AM的延长线于 N 则厶 ABMh^ NCM ••• AB/NC=BM/CM 又可证明/ CANN ANC ••• AC=CN ••• AB/ AC=M/MC



方法3 （相似形）

过 M作 MNI AB 交 AC于 N 则厶 ABSA NMC,

••• AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明/ CAMNAMN ••• AN=MN ••• AB/AC=AN/NC ••• AB/ AC=M/MC



证明3图

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