2019年南开大学数学试点班自主招生考试题

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2019年南开大学数学试点班自主招生考试题

南开大学数学试点班自主招生考试题（A卷）

总分：200分 考试时间：2014-2-16 8:30-11:30

一．填空题（每小题7分，共70分）

rrrrrr

1．若单位向量a，b满足|2a3b|10，则|3a2b| ．

2

2．若非零复数z满足|z|z(1i)z0，则复数z的实部为 ．

3．无重复数字（不含0）且4与5不相邻的五位数共有 个．

4．在三棱锥PABC中，底面为边长为3的正三角形，且PA3，PB4，PC5，则三棱锥

PABC的体积VPABC ．

5．在△ABC中，A为钝角，以下结论正确的是 ．

①sinBcosC；②sinAsinBsinC；③tanBtanC2；④sinBsinC

2．

6．已知函数f(x)为周期为3的奇函数，且f(1)0，则f(x)在区间[0,3)上至少有 个零点．

x2y2

1焦点F(c,0)(c0)的直线yk(xc)(k0)交双曲线的两条准线于A、B7．过双曲线

169

两点，且以AB为直径的圆恰过原点O，则k ．

8．已知x,y(0,1)，且3x7y,5xy均为整数，则这样的(x,y)共有 对．

x2

xlnx有唯一解，则a的值为 ． 9．在区间(0,)上，若方程a

10．已知x,y,z均为正数，且xyz

1222444

，xyz2，则xyz的最大值为 ． 2

二．解答题（第1-2题，每题15分，第3-7题，每题20分，共130分）

1．设m,n为正整数，且mn．证明：对于任意连续n个正整数，总存在两个不同的正整数的乘积为mn的倍数．

2．设P为曲线2x5xy2y1上的动点，求点P到原点距离的最小值．

3．定义在(0,)上的函数f(x)满足：对任意的x,y，均有f(xy)f(xy)．证明：f(x)在(0,)上恒为常数． 4．设x,y(0,

2

2



2

)，且tanxtany3．证明：

cosxcosycosxcosy

． 

2cos(xy)


2019年南开大学数学试点班自主招生考试题

5．设nZ，且n2，ai(0,1](i1,2,L,n)，证明：

nn

ai1

ainai．

a1a1i1i1ii1ii1n

n

2an

6．已知a1(0,1)，an1an2，证明：存在M0，使得对任意的正整数n，有anM．

n

7．设集合A的元素个数为n，证明：存在集合A的一个子集B，满足：B的元素个数大于n

，且对任意的x,yB，均有xyB．

3

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