初中数学知识点精讲精析素数、合数与分解素因数

2023-01-13 12:02:19 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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1.4 素数、合数与分解素因数

学习目标

1. 理解素数、合数、素因数、分解素因数的概念。

2. 掌握分解素因数的几种方法，熟练掌握用短除法分解素因数。

知识详解

1. 一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。

2. 先将该合数分解成两个因数之积，再将其中的合数分解，一直分到不能再分为止从以上例子可以看出：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数 3. 用短除法分解素因数的步骤如下：

（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。

（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式. 4. 计算器分解法

首先用计算器将合数分成两个整数之积，再分别对两个整数进行分解，最终化为素数之积的形式。

【典型例题】

例1：判断18，29，51和91是素数还是合数。

【答案】18能被3整除，因此除了1和18以外，18还有因数3，所以18是合数。同样，45能被5整除，91能被7整除，所以45、91也是合数。

【解析】18的因数有：1，2，3，6，9，18 29的因数有：1，19 45的因数有：1，3，5，9，15，45 91的因数有：1，7，13，91

通过检查每个数的因数的个数，可以知道：18，45，91是合数，29是素数。例2：小于30的既是素数，又是偶数的数是哪几个？

【答案】小于30的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 而其中又是偶数的数只有2。

【解析】所有的素数（除2外）都是奇数。例3：36的因数有哪几个？素因数有哪几个？

【答案】36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 36的素因数有：2，2，3，3。

【解析】求36的素因数可以用短除法来求，一共有4个，而不能只说2和3。【误区警示】

易错点1：分解质因数

1. 一个六位数19a94b能被12整除，这样的六位数共有多少个？【答案】12=3×4，

1+9+a+9+4+b=23+a+b可以被3整除，a+b可以为1，4，7，10，13，16；

由于19a94b=19a900+4b，19a900能被4整除，因此4整除19a94b的充分必要条件是4能够整除4b，因此b可以为0，4，8．由此得到所有解：（a，b）对：（1，0），（4，0），（7，0），（0，4），（3，4），（6，4），（9，4），（2，8），（5，8），（8，8），共10个。

【解析】这个数要被12整除，由于12=3×4，并且3与4互质，也就是说只要这个数能分别被3和4整除即可．一个数被3整除的特征是所有数字之和为3的倍数，即1+9+a+9+4+b=23+a+b可以被3整除，a+b可以为1，4，7，10，13，16．由于19a94b=19a900+4b，19a900能被4整除，因此4整除19a94b的充分必要条件是4能够整除4b，因此b可以为0，4，8．据此解答即可得到答案。易错点2：合数分解质因数 2. 把30分解质因数是【答案】30=2×3×5

【解析】先求得2、3、5的最小公倍数；利用合数分解质因数的方法即可解决问题。【综合提升】针对训练

1. 把24分解质因数是

2. 一个合数的质因数是10以内所有的质数，这个合数是 3. 三个质数的积是231，那么这三个质数的和是 1.【答案】24=2×2×2×3

【解析】合数分解质因数的方法是：是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 2.【答案】210

【解析】10以内所有的质数：2、3、5、7，这个合数是：2×3×5×7=210 3.【答案】21

【解析】231=3×7×11，

3+7+11=21

课外拓展

质数（prime number）又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，如果除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）；否则称为合数。根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。