奥数题-专题训练之比和比例应用题

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比和比例应用题

[例1]、生产队饲养的鸡与猪的只数比为26∶5，羊与马的只数比为25∶9，猪与马的只数比为10∶3。求鸡、猪、马和羊的只数比。

[分析] 该题给出了三个单比，要求写出它们的连比。将几个单比写成连比，关键是利用比的基本性质将各个比中表示同一个量的值化为相同的值。 [解] 由题设，

鸡∶猪=26∶5，羊∶马=25∶9， 猪∶马=10∶3， 由比的基本性质可得： 猪∶马=10∶3=30∶9， 羊：马=25∶9， 鸡：猪=26∶5=156∶30，

从而 鸡∶猪∶马∶羊=156：30∶9∶25。 答：鸡、猪、马、羊的只数比为156∶30∶9∶25。

[注] 将单比化为连比时，还可先化为三个量的连比，再化为四个量的连比。如，鸡∶猪=26∶5，猪∶马=10∶3，由此可得，鸡∶猪∶马=52∶10∶3；再注意到羊∶马=25∶9可得，鸡∶猪∶马∶羊=156∶30∶9∶25。 [例2]．下列各题中的两个量是否成比例?若成比例，请说明成正比例还是成反比例。 (1)路程一定时，速度与时间； (2)速度一定时，路程与时间；

(3)播种面积一定时，总产量与单位面积的产量； (4)圆的面积与该圆的半径；

(5)两个相互啮合的大小齿轮，它们的转速与齿数。 [分析] 利用正比例、反比例的概念进行判定与说明。

[解] (1)由于速度与时间的乘积等于路程，所以，当路程一定时，速度与时间成反比例。 (2)由于路程与时间的比值为速度，所以，当速度一定时，路程与时间成正比例。

(3)由于总产量与单位面积的产量的比值为播种面积，所以，当播种面积一定时，总产量与单位面积的产量成正比例。 (4)设圆的半径为R，则圆的面积为∏R²，所以圆的面积与半径的积为∏R³，随半径的变化而变化，即圆的面积与半径不成反比例；而圆的面积与半径的比值为∏R，也随半径的变化而变化，即圆的面积与半径不成正比例。综上，圆的面积与半径不成比例。

(5)由于齿轮的转速与齿数的积等于单位时间内齿轮转过的总齿数，而两个相互咬合的大小齿轮在单位时间内转过的总齿数相等，所以，它们的转速与齿数成反比例。

[注] 若两个相关联的量成正比例，则一个量变大(小)时，另一个量也变大(小)；若两个相关联的量成反比例，则一个量变大(小)时，另一个量反而变小(大)。因此，在上例的(4)中，注意到半径愈大，圆的面积也愈大，故只需判断圆的面积与半径不成正比例，就可断定圆的面积与半径不成比例。

[例3] 某小学共有学生697人，已知低年级学生数的1/2等于中年级学生数的2/5，低年级学生数的1/3等于高年级学生数的2/7，求该校低、中、高年级各有多少名学生?

[分析] 由题设条件可得低、中、高各年级的学生数的比，从而可按比例分配求得各年级的学生数。 [解] 设低年级的学生数为“1”，则中年级的学生数为1/2÷2/5=5/4，高年级的学生数为1/3÷2/7=7/6手：舌，从而，低、中、高年级的学生数的比为：低∶中∶高=1∶5/4∶7/6=12∶15∶14， 按比例分配得，低年级学生数：697×12/12+15 +14=204(人)，

中年级学生数：697×15/12+15 +14=255(人)， 高年级学生数：：697×14/12+15 +14=238(人)。

答：该校低、中、高年级的学生数分别为204人、255人、238人。

[注] 按比例分配时，可先出每份对应的量，再求出相应的量。如：697÷(12+15+17) =17(人)。从而，低年级有17×12=204(人)，中年级有17×15=255(人)，高年级有17×14=238(人)。

[例4] 雏鹰小分队为“希望小学”搞了一次募捐活动。她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5∶6，乙商品与丙商品的数量之比为4∶11，且购买丙商品比购买甲商品多花了210元，求这次募捐所得的钱数。

[分析] 根据已知条件可先求出甲、乙、丙三种商品的数量比。即甲、乙、丙三种商品的份数比，再根据甲、丙商品的份数关系及单价，求出每份商品的实际数量，从而求出甲、乙、丙商品的数量，由此可得募捐所得的钱数。 [解] 已知：甲商品数∶乙商品数=5：6，乙商品数∶丙商品数=4∶11。

于是，甲商品数∶乙商品数∶丙商品数=10∶12∶33，即甲、乙、丙商品分别有10份、12份、33份。 由于购买丙商品比购买甲商品多花210元，所以，每份的商品数为210÷(10×33—30×10) =7(件)。 于是，甲商品数为：7×10=70(件)，乙商品数为：7×12=84(件)，丙商品数为：7×33=231(件)。由此，募捐所得到的钱数为：30×70+15×84+10×231=5670(元)． 答：募捐所得到的钱为5670元。



“比和比例”应用题错解例析

2008-05-07 作者：佚名 来源：网友投稿

例1某车间要加工2220个零件，单独做，甲、乙、丙三人所需工作时间的比是4∶5∶6。现在由三人共同加工，问完成任务时，三人各加工了多少个？

错解 由甲、乙、丙三人单独做所需工作时间的比是4∶5∶6，推出甲、乙、丙三人工作效率的比是6∶5∶4，

用按比例分配的思路解。

评析 上述解答错在把甲、乙、丙三人工作效率的比看成是6∶5∶4。诚然，如果甲、乙二人工作时间的比是4∶5，那么，甲、乙二人工作效率的比就是5∶4，这是正确的。但是，把甲、乙、丙三人工作时间的连比是4∶5∶6转化成甲、乙、丙三人工作效率的连比是6∶5∶4，那就大错了！不错，工作效率的比等于工作时间比的反比。从已知条件看，甲、乙二人工作时间的比是4∶5，所以，甲、乙二人工作效率的比是5∶4；乙、丙二人工作时间的比是5∶6，所以，乙、丙二人工作效率的比是6∶5。这里的“5∶4”表示甲5份，乙4份，“6∶5”表示乙6份，丙5分，两个比都是两重相比，其中同样表示“乙”有几份的数在前后两个比中并不相同，我们怎么能将这两个比直接变成甲、乙、丙三人工作效率的连比呢？显然，上述解答中把甲、乙、丙三人工作效率的连比看成是6∶5∶4，是错误的。 正确的解答应当是：甲、乙、丙三人工作效率的比=


容易看出，因为5∶4=15∶12，6∶5=12∶10，所以，由上述“甲、乙二人工作效率的比是5∶4，乙、丙二人工作效率的比是6∶5”，也可以得到甲、乙、丙三人工作效率的比是是15∶12∶10。

例2有两瓶同样重的盐水，甲瓶盐水盐与水重量的比是1∶8，乙瓶盐水盐与水重量的比是1：5。现将两瓶盐水并在一起，问在混合后的盐水中盐与水重量的比是多少？

错解 认为在甲瓶盐水中，盐的重量是“1”，水的重量是“8”，在乙瓶盐水中，盐的重量是“1”，水的重量是“5”，于是，将两瓶盐水并在一起，便得到盐的重量是（1＋1＝）2，水的重量是（8＋5＝）13。 （1+1）∶（8＋5）=2∶13

答：在混合后的盐水中盐与水重量的比是2∶13。

评析 上述解答的主要错误是把两种物质重量的最简比，看成了就是两种物质具体重量的比。甲瓶盐水盐与水重量的比是1∶8，不等于说在这瓶盐水中盐的重量是1千克，水的重量是8千克，乙瓶的情况也是一样。从已知条件可以看出，在甲瓶盐水中，盐有1份，水有8份，盐和水一共有（1＋8＝）9（份），在乙瓶盐水中，盐有1份，水有5份，盐和水一共有（1＋5＝）6（份）。因为两瓶盐水是“同样重”，但甲瓶有9份，乙瓶只有6份，所以，可见两瓶盐水中每“1份”的重量有多少是不相同的。上述解答简单地将两瓶盐水中每份重量不同的盐和水的份数分别相加，然后再将两个“和”组成一个比，便造成了解答的错误。 正确的解答是：1∶8=2∶16，2＋16=18；

1∶5=3：15，3＋15＝10。（2＋3）∶（16＋15）＝5：31 答：在混合后的盐水中盐与水重量的比是5∶31。

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