历年自主招生考试数学试题大全2018年上海复旦大学自主招生数学试题Word版

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复旦大学2018年保送生招生（自主招生）测试

数学试题（理科）

一、填空题（每小题10分，共60分）

1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n组含n个数，即1；2，3；4，5，6；……．令an为第n组数之和，则an＝________________． 2．sin2sin2(



)sin2()＝______________．

33



3．lim[(n2)log2(n2)2(n1)log2(n1)nlog2n]＝_________________．

n

4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________． 5．正实数x,y满足关系式x

2

xy4＝0，又若x≤1，则y的最小值为_____________．

6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．

二、解答题（每小题15分，共90分）

1．数列{an}适合递推式an+1＝3an+4，又a1＝1，求数列前n项和Sn．

2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．



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3．正六棱锥的高等于h，相邻侧面的两面角等于2arcsin积．(cos

1

(326)，求该棱锥的体2

1

(26)) 124



4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0． 求证：这四个点组成一个矩形．

5．设(12)xnyn2，其中xn,yn为整数，求n→∞时，

6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．

n

xn

的极限． yn



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