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课时跟踪检测(一) 正弦定理
层级一 学业水平达标
1.在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=________. 解析:由正弦定理得答案:46
π1
2.在△ABC中,若b=5,B=,sin A=,则a=______.
43解析:由正弦定理得
π1a552,又b=5,B=,sin A=,所以=,a=.
sin Asin B431π3
sin34
=
BCAC12
=,即=,所以AC=46. sin Bsin Asin 45°sin 60°
AC
ab
52
答案:
3
3.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则sin B=________. 解析:根据正弦定理
3 3
b15103=,可得=,解得sin B=. sin Asin Bsin 60°sin B3
a
答案:
4.在△ABC中,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=________.
解析:A=180°-30°-120°=30°,由正弦定理得:a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶3.
答案:1∶1∶3
5.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是________.
解析:由题意有=b=,则sin B=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角sin Asin B形.
答案:直角三角形
6.在△ABC中,已知c=6,A=45°,a=2,则B=________. 解析:∵=, sin Asin C∴sin C=
ab
ac
c sin A6×sin 45°3
==, a22
∴C=60°或120°,当C=60°时,B=180°-45°-60°=75°,当C=120°时,B
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=180°-45°-120°=15°.
答案:75°或15°
7.已知△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=c=6+2且A=75°,则
b=________.
解析:sin A=sin 75°=sin (30°+45°)=sin 30°cos 45°+sin 45°·cos 30°=
2+6
, 4
由a=c=6+2,可知,C=75°, 1
所以B=30°,sin B=,
2
a2+61
由正弦定理得b=·sin B=×=2.
sin A2+62
4
答案:2
8.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若A=105°,B=45°,b=22,则c=________.
解析:根据三角形内角和定理,
C=180°-(A+B)=30°.
根据正弦定理:c=答案:2
9.在△ABC中,已知b=63,c=6,C=30°,求a. 解:由正弦定理得=,
sin Bsin C所以sin B=
bsin C22sin 30°
==2. sin Bsin 45°
bc
bsin C3=, c2
因为b>c,所以B>C=30°. 所以B=60°或B=120°. 当B=60°时,A=90°, 则a=
csin A
=12. sin C
当B=120°时,A=30°, 则a=c=6.
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所以a=6或a=12.
10.在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,求证:asin 2B+bsin 2A=2absin
2
2
C.
证明:因为左边=4RsinA·sin 2B+4RsinB·sin 2A =8RsinAsin Bcos B+8RsinB·sin Acos A =8Rsin Asin B(sin Acos B+cos Asin B) =8Rsin Asin Bsin(A+B)=8Rsin Asin Bsin C =2·(2Rsin A)·(2Rsin B)·sin C=2absin C=右边, 所以等式成立.
层级二 应试能力达标
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
a+b+c
1.在△ABC中,若A=60°,a=3,则=________.
sin A+sin B+sin C
解析:利用正弦定理变形,得
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
=
a+b+c
,所以
sin A+sin B+sin C
a+b+c3
==2.
sin A+sin B+sin Csin 60°
答案:2
2.在△ABC中,已知b=4,c=8,B=30°,则a=________. 解析:由正弦定理,得sin C=
csin B8sin 30°
==1. b4
所以C=90°,A=180°-90°-30°=60°. 又由正弦定理, 得a=
bsin A4sin 60°
==43. sin Bsin 30°
答案:43
3.在△ABC中,a=23,b=22,B=45°,则A等于______.
ab3
解析:由正弦定理得,=,解得sin A=,又a>b,所以A=60°或120°.
sin Asin B2
答案:60°或120°
4.在△ABC中,角A,B,C的对应边分别为x,b,c,若满足b=2,B=45°的△ABC恰有两解,则x的取值X围是________.
解析:要使△ABC恰有两解,xsin 45°<2<x,解得2<x<22.
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