球体体积公式的推导

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球体体积公式的推导

1、如图，设球体的球心为O，半径为R，球体体积为V，用垂直于半径 OA的

R

平面将半球分成n个圆柱体，则每个圆柱体的高是，半径分别为r1、r2、r3、…rn

n



由相交弦定理得 r12 =

2

RR12

·(2R—) = R2(—2) ,

nnnn

2R2R22222r2 = ·(2R—) = R(—2) ,，

nnnn

3R3R22223r3 = ·(2R—) = R(—2)， nnnn

2

………………… rn2

nRnR2nn22

= ·(2R— ) = R ·（ — 2）

nnnn



1 R32R32222 R32332

∴V半球 = 兀·(—2)+兀·(—2)+兀·(—2)……

nnnnnnnnn

2nR3n2

+兀·（ — 2）

nnn

2n1R3222232222n2

=兀·（+++……+ —2—2—2—……—2）

nnnnnnnnn123n122232n2R3

=兀·（2×—） 2

nnn




1n2n1n1R3

=兀·〔n + 1—·〕

6n2n

=兀R3 〔

n112n1n1 —·〕 2

n6n

=兀R3

·4n23n1

6n

2

=兀R3 ·（

213+

2n1

6n2） 当n趋近于∞时，11

2n = 0，6n2 = 所以V = 兀R3（2

半球3 + 0 + 0 ）

= 2

3兀R3

V = 4

球体体积兀R33

。



0，

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