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2013年九校(卓越联盟)自主招生
数学试题
分值: 分 时量: 分钟
一、选择题,
1.已知向量为非零向量,则夹角为( ) A. B。 C。 D。 2。已知则( ）
A. B. C 。 D.
3。在正方体中，为棱的中点，是棱上的点，且,则异面直线与所成角的正弦值为( ） A。 B。 C. D.
4。为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( ） A。 B。 C。 D.
5。已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上，三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( ） A.. B。 C。 D。
6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2，且为的中点，则点到平面的距离为（ ) A。 B. C。 D。
7。若关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为( ) A. B。 C. D。
A 8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于，交于,交在点处的切线于,若，则的长为（ ） l
A。 B。 C. D. P
G
9.数列共有11项,且
E O C
满足这种条件的不同数列的个数为（ )
D
A. 100 B. 120 C。 140 D. 160
B
F 10。设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转，表示坐标平面关于轴的镜面反射。用表
第8题图
示变换的复合,先做，再做.用表示连续次的变换,则是( ) A. B。 C。 D. 二、解答题 11.设数列满足。
（1）设,证明:若，则是等比数列; (2）若求的值；
12.在中,是角的平分线，且。 （1）求的取值范围；
（2）若,问为何值时，最短？
13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切。 (1)求椭圆的方程；
（2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值.
14.一袋中有个白球和个黑球。从中任取一球，如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球，则该
黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为。 （1）求； (2）设，求 (3)证明: 15。设。 （1）求;
(2）设求常数,使得取得最小值; (3）记(2）中的最小值为,证明。 参考答案： 一。选择题 二.解答题
11.【解】(1)证：由，得
令则，所以是以为首项，以为公比的等比数列; (2)由(1) 可知， 所以由累加法得即
也所以有时，也适合该式； 所以 也所以
由于所以解得。
12.【解】(1)过作直线,交延长线于，如图右.
所以,
也所以有,即
在中,有
即
所以，即 所以。 （2）因为 在中,有 记，则 当时，
此时取最小值，此时. 故当时,取最小值. 13。【解】设椭圆方程为，因为它与直线只有一个公共点, 所以方程组只有一解，整理得。 所以得.
又因为焦点为,所以联立上式解得 所以椭圆方程为.
(2)若斜率不存在(或为0)时,则。 若斜率存在时,设为,则为.
所以直线方程为。设与椭圆交点坐标为 联立方程化简得。 则
A C B D
E
所以 同理可得 所以
因为（当且仅当时取等号) 所以,也所以
所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2. 14。【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球）,概率为;也可能为个(即取出的是黑球)，概率为,故。
(2)首先，时，第次取出来有个白球的可能性有两种；
第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球（故此时黑球有个),第次取出来的也是白球，这种情况发生的概率为
第次袋中有个白球，第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为。这种情况发生的概率为。 故
（3)第次白球的个数的数学期望分为两类:
第次白球个数的数学期望,即。由于白球和黑球的总个数为，第次取出来的是白球，这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是,此时白球的个数是 故 15。(1)；
（2）若则显然,当取最小； 若则当取最小。 故
由（1）知 所以, 记
则令,得
即时,取最小值.
（3）将代入式右边， 等价于
由于时，所以下面只须证明即可。 又令,
则，注意到函数是单调递增的，且 所以.得证.
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2022-09-12
