极化恒等式在向量问题中的应用

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极化恒等式在向量问题中的应用



目标1：阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式的两种模式，并理解其几何意义 阅读以下材料：

引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和 等于两条邻边平方和的两倍.

DBab，证明：不妨设ABa,ADb,则ACab，

M

ACACaba2abb （1） DBDB

2

2

2

22



ab

2

222

图1

a2abb （2）

2

22

2222

（1）（2）两式相加得：ACDB2ab2ABAD



结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？

221

abab————极化恒等式 ab＝

4



2

几何意义：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的

1

. 4

即：ab

12

ACDB4

（平行四边形模式）

2

A

思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AC2AM，所以abAM



12

DB（三角形模式） 4

B M C

目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值

例1.(2012年浙江文15)在ABC中，M是BC的中点，AM3,BC10，则ABAC____ . 解：因为M是BC的中点，由极化恒等式得：ABACAM

2



112

BC=9-100= -16 44

【小结】运用极化恒等式的三角形模式，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。 目标检测

(2012北京文13改编)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DEDA的值为______.






目标2-2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围

例2（自编）已知正三角形.ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，



则PAPB的取值范围是________.

解：取AB的中点D，连结CD,因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC 的重心，O在CD上，且OC2OD2，所以CD3，AB23 又由极化恒等式得：PAPBPD

2



122

ABPD3 4

因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max3 当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min1 所以PAPB[2,6]

【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。 目标检测

1、矩形ABCD中，AB3,BC4，点M,N分别为边BC,CD上的动点，且MN2，则AMAN的最小值是( ) A．13 B．15 C．17 D．19

2、已知A,B,C是圆x2y21上互不相同的三个点，且ABAC，则ABAC的最小值是 3、已知ABC,AB7,AC8,BC9, P为平面ABC内一点，满足PAPC7，则|PB|的取值范围是 .

目标2-3：会用极化恒等式解决与数量积有关的综合问题

AB上一定点，满足P0B例3.（2013浙江理7）在ABC中,P0是边

且对于边AB上任一点P，恒有PBPCP0BPC0。则( )

1

AB， 4

A. ABC90 B. BAC90 C. ABAC D. ACBC 目标检测

(2008浙江理9)已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0,则c的最大值是(　　)A.1　　B.2　　C.2　　D.

2

2

`1、

BACA4，BFCF1 ，2、[2016年江苏]如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，

则BECE 的值是 .

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