用最小二乘法求一个形如

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1. 用最小二乘法求一个形如yabx的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.

19 25 31 38 44

xi

2

yi



19.0 32.3 49.0 73.3 97.8

解：



10654a14748998b738643.0010a10654b542.80ba，，

解方程得a4.00955,b0.0471846，均方误差13.0346。

2.下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分

解是否唯一？

123111126

,B221,C2515.A241

46733161546

解: 按高斯消去法，A无法进行第二次消去，换行后可以分解，B第二次消去可乘任意系数，分解不唯一，C可唯一分解。

3.设方程组

(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;

(k1)(k)4||xx||10(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代

5x12x2x312



x14x22x3202x3x10x3

231

终止．

解： (a) Jacobi迭代矩阵

0.40.201

BD(LU)0.2500.5

0.20.30

3

|IB|0.210.0550 特征方程为

特征根均小于1，Jacobi迭代法收敛。 Gauss-Seidel迭代矩阵

00.40.2

G(DL)1U00.40.7

00.040.17

32

特征方程为 |IG|0.570.0960 特征根均小于1，Gauss-Seidel迭代法收敛。 (b) Jacobi迭代格式为

X(k1)BX(k)f1

1T

fDb(1.250.3)1其中B如上，， 迭代18次得


X3.9999964

2.99997391.9999999

T，

Gauss-Seidel迭代格式为

X(k1)GX(k)f2 1T

其中G如上，f2(DL)b(2.42.61.53)， 迭代8次得 X4.000036



5. 设方程组

2.999985

2.000003。

T

x10.4x20.4x31

0.4x1x20.8x320.4x0.8xx3

123(a)  (b) x12x22x31



x1x2x312x2xx1

231

试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性

解：. (a) 谱半径(B)1.0931，Jacobi迭代法不收敛；

矩阵A对称正定，故Gauss-Seidel迭代法收敛。 (b) 谱半径(B)01，Jacobi迭代法收敛； 谱半径(B)21，Gauss-Seidel迭代法不收敛

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