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2020-2021学年高一数学上学期期末考试仿真模拟试卷二
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A{2,1,0,1,2},集合B{x|ylog2(1x)},则AA. {2} 【答案】C
【解析】因为集合Bxylog2(1x){xx1},集合A{2,1,0,1,2}, 所以AB{2,1,0}.故选:C.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
1
1
2.设alog3,b43,clog32,则a,b,c的大小关系为( ).
4
B( )
D. {2,1,0,1}
B. {1,2} C. {2,1,0}
A. c >a> b 【答案】D
B. b> a> c C. c> b> a D. b> c> a
1
1
【解析】alog3log310,b43401,0log31log32log331,
4
所以 b> c> a.故选:D
【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较以及对数函数和指数函数的单调性,属于基础题. 3.若ab0,则下列不等式中不成立的是( ) A.|a||b| 【答案】D 【解析】 因为ab0, 所以ab0,
所以ab,即ab,故A正确, 所以ab,即 a2b2,故B正确 , 所以
2
2
B.a2b2 C.
11 ab
D.
11
aba
1111,即,故C正确, abab
当a2,b1时,
11
,故D错误. aba
故选:D
【点睛】本题考查了不等式性质,属于基础题. 4.已知tan
14
,tan,且,(0,),则= 73
A.
2357 B. C. D. 3464
【答案】B 【解析】∵tan
14
>0,tan<0,且,(0,), 73
∴(0,
),(,), 223,), 22
∴(
14
tantan73 ∴tan()=1,
141tantan1()73
故
3
,所以选B. 4
【点睛】本题主要考查了三角函数给值求角,须注意角的范围,属于基础题. 5.函数f(x)e
2x
e2xlnx的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意,函数fx的定义域为xx0, 因为f(x)e
2x
e2xln|x|e2xe2xlnxf(x),
所以fx为偶函数,则其图像关于y轴对称,所以排除B选项,
当x1时,fx0;当0x1时,fx0,排除A,C选项.故选:D 【点睛】本题考查函数图像的识别,考查函数奇偶性的应用,属于基础题 6. 已知方程lnx112x的实数解为x0,且x0(k,k+1),kN,则k= A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D
【解析】方程lnx112x的实数解,即为方程lnx2x110的实数解, 令函数f(x)lnx2x11,
显然函数f(x)单调递增,又f(4)ln430,f(5)ln510, 故存在x0(4,5),使f(x0)0,故k=4,本题选D. 【点睛】本题考查函数与方程,考查零点存在性定理,属于基础题. 7. 已知函数ycos(
355
x),x[,t)(t>)既有最小值也有最大值,则实数t的取值范围是 266
A.
3133
t B.t 26231355t或t D.t 2622
C.
【答案】C
【解析】三∵x[
55373
x[t),要使原函数既有最小值也有最大,t)(t>),∴,
6623231133135
tt4,解得t或t,故选C. 或232262
值,则3
【点睛】本题考查三角函数的图像与性质,利用三角函数图像研究三角函数最值,属于中档题. 8.安装了某种特殊装置的容器内有细沙10cm3,容器倒置后,细沙从容器内流出,tmin后容器内剩余的细沙量为y=101+at(单位:cm3),其中a为常数.经过4min后发现容器内还剩余5cm3的沙子,再经过xmin后,容器中的沙子剩余量为1.25cm3,则x=( ) A. 4 【答案】C
【解析】当t4时y5,所以51014a,即14alg5,4alg51lg
11
1ylg42
B. 6 C. 8 D. 12
111
,alg.设经过242
1
y4
ymin后,剩余沙子为10
115
,即1014ylg2104
1y14lg102
1
10
2
5,即4
12
1y4
3
1,1y3,y12.所以再经过的时间x1248.故选:C
42
【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式以及对数运算,考查运算求解能力,属于中档题. 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9. 已知函数f(x)sin(3x)
的图象关于直线x对称,则( )
242
A. 函数fx
为奇函数 12
,上单调递增 123
B. 函数fx在
C. 若fx1fx22,则x1x2的最小值为D. 函数fx的图象向右平移【答案】AC
3
个单位长度得到函数ycos3x的图象 4
【解析】因为f(x)sin(3x)的图象关于直线x所以3
4
对称,
4
2
kkZ ,
得
4
k,kZ,因为
2
2
,所以k0,
4
,
所以f(x)sin3x
, 4
对于A:fx确; 对于B:x正确;
sin3x124sin3x,所以12
fx为奇函数成立,故选项A正
12
3
,时,3x0,,函数fx在,上不是单调函数;故选项B不
44123123
对于C:因为fxmax1,fxmin1,又因为fx1fx22,所以x1x2的最小值为半个周期,即
21
,故选项C正确; 323
对于D:函数fx的图象向右平移
个单位长度得到 4
ysin3xsin3xsin3x,故选项D不正确;故选:AC
44
【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式,考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值,属于中档题
1110.若,则下列关系式中一定成立的是( )
22
A. 3a3b
a
b
ab
B. eaeb(e2.718)
C. sincossincos(是第一象限角) D. lna1lnb1
2
2
【答案】BC
11
【解析】由知:ab,
22
ab
∴3a3b,eaeb,即A错误,B正确;
sincos2sin(
4
)且
4
b
4
3
,即1sincos2,则有4
sincos
a
sincos,故C正确;
lna21,lnb21的大小不确定,故D错误.
故选:BC
【点睛】思路点睛:注意各选项函数的形式,根据对应函数的单调性比较大小. 1、如:x3,ex单调增函数;
2、对于sincos,根据所在象限确定其范围即可应用ax的单调性判断大小;
3、由于ab无法确定a21,b21的大小,lna1,lnb1的大小也无法确定.属于基础题. 11.设a1,b1,且ab(ab)1,那么( ) A. ab有最小值2(21) C. ab有最大值322. 【答案】AD
【解析】a1,b1,
B. ab有最大值(21)2 D. ab有最小值322.
1
2
2
ab2ab,当ab时取等号, 1ab(ab)ab2ab,解得abab(21)2322,
21,
ab有最小值322;
ab(
ab2
),当ab时取等号, 2
ab2
)(ab), 2
1ab(ab)(
(ab)24(ab)4,
[(ab)2]28,解得ab222,即ab2(21),
ab有最小值2(21).故选:AD.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值时的应用,考查了计算能力,属于中档题.
12.定义:在平面直角坐标系xOy中,若存在常数(>0),使得函数yf(x)的图象向右平移
个单位长度后,恰与函数yg(x)的图象重合,则称函数yf(x)是函数yg(x)的“原形函数”.下列四个选项中,函数yf(x)是函数yg(x)的“原形函数”的是 A.f(x)x,g(x)x2x1 B.f(x)sinx,g(x)cosx C.f(x)lnx,g(x)ln【答案】AB
【解析】选项A,函数f(x)x的图象向右平移1个单位得函数g(x)x2x1的图象,函数
2
2
2
2
x1x1x D.f(x)(),g(x)2() 233
yf(x)是函数yg(x)的“原形函数”;
选项B,函数f(x)sinx的图象向右平移函数yg(x)的“原形函数”;
3
个单位得函数g(x)cosx的图象,函数yf(x)是2
选项C,函数f(x)lnx的图象向下平移ln2个单位得函数是函数yg(x)的“原形函数”;
g(x)ln
x
2的图象,函数yf(x)不
选项D,函数f(x)()的图象纵坐标扩大为原来的两倍得函数g(x)2()的图象,函数
13
x
13
x
yf(x)不是函数yg(x)的“原形函数”.故AB符合题意.
【点睛】本题考查了函数图象的变换,属于中档题.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,多空题,第一空2分,第二空3分,共20分. 13.下列命题中,真命题的序号_____. ①xR,sinxcosx②若p:
3;
xx0,则p:0; x1x1
③lgxlgy是xy的充要条件;
④“a2”是“函数f(x)xa在区间2,上为增函数”的充要条件. 【答案】④.
sinxcosx2sin(x)2,32,故①为假命题;
4
xx0,解得0x1 ,所以p:xx0或x1,而0的解集为对②,命题p:
x1x1
【解析】对①,
xx0或x1,故②为假命题;
对③,当x1,y0时,满足x
y,但lgxlgy不成立,故③为假命题;
对④,根据正弦定理故答案为:④.
ab
可得,边ab是sinA>sinB的充要条件,故为真命题; sinAsinB
【点睛】本题考查了命题的真假性、充分条件与必要条件以及命题的否定,涉及三角函数的性质、分式不等式的性质、指数对数的性质以及函数的单调性逐条分析即可得出答案.属于基础题.
2
14.已知函数f(x)xx,若flog3
1
f2,则实数m的取值范围是___________. m1
8
【答案】,8
9
【解析】
xR,f(x)(x)2xx2xf(x),所以f(x)x2x为偶函数,作图如下;
由图可得flog3因此3
2
1112
f22log2332 3m1m1m1
8
m132m8
9
故答案为:,8
【点睛】本题考查根据函数图象解不等式,考查数形结合思想方法,属基础题.
89
15.已知tan2,则
1sin2cos
_______,2_______2
sincossinsincos2cos
.
5
4
sin2cos
sin2coscoscostan222
4, 【解析】
sincossincostan121
coscos
【答案】 (1). 4 (2).
1sin22cos2
22
sinsincos2cossin2sincos2cos2
sin2cos2
22tan212215coscos. 2222
sinsincos2costantan22224
22
coscoscos2
5
故答案为:4;.
4
【点睛】本题考查正弦余弦齐次分式的计算,一般利用弦化切的思想进行计算,考查计算能力,属于基础题.
16.已知函数f(x)2cosx (x[0,]) 的图象与函数g(x)3tanx的图象交于A,B两点,则
OAB(O为坐标原点)的面积为__________.
【答案】
3 2
【解析】函数y=2cosx(x∈[0,π])和函数y=3tanx的图象相交于A、B两点,O为坐标原点, 由2cosx=3tanx,可得2cos2x=3sinx,即 2sin2x+3sinx﹣2=0,
1
,或sinx=﹣2(舍去),结合x∈[0,π], 25∴x,或 x;
665∴A(,3)、B(,3),画出图象如图所示;
66
求得sinx
根据函数图象的对称性可得AB的中点C(
,0), 2
∴△OAB的面积等于△OAC的面积加上△OCB的面积, 等于
11113•OC•|yA|OC•|yC|•OC•|yA﹣yC|••23π,故选D. 222222
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题,是中档题.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在①A
B=B,②AB,③B
C
U
A这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问
题中的实数a存在,求a的取值范围;若不存在,说明理由. 问题:已知集合Ax(x2)(xa)0,xR,Bx使得____成立.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】答案不唯一,具体见解析 【解析】由题意,Bx
x2
0,xR,是否存在实数a,
x2
x2
0[2,2),A{xx2xa0,xR}
x2
当a2时,A(2,a);当a2时,A;当a2时,A(a,2); 选择①:ABB,则AB,
当a2时,(2,a)[2,2),则a2,所以2a2; 当a2时,A,满足题意; 当a2时,A(a,2),不满足题意; 则实数a的取值范围是[2,2].
选择②:AB,
当a2时,A(2,a),B[2,2),满足题意; 当a2时,A,不满足题意;
当a2时,A(a,2),B[2,2),不满足题意; 则实数a的取值范围是(2,). 选择③:B
C
U
A,
当a2时,A(2,a),当a2时,A,
C
U
U
A(,2][a,),而B[2,2),不满足题意;
C
AR,而B[2,2),满足题意;
当a2时,A(a,2),
C
U
A(,a][2,),而B[2,2),满足题意;
则实数a的取值范围是(,2].
【点睛】本题考查了一元二次不等式及分式不等式的求解,考查了由集合间的包含关系及运算的结果求参数,属于基础题.
18.在平面直角坐标系xOy中,角的顶点为O,始边为x轴的正半轴,终边经过点P(-3,m),且sin
4
. 5
(1)求实数m的值;
sin(2)cos()
(2)求3的值.
sincos22
【答案】(1)4;(2)
1
7
【解析】(1)由于角的终边经过点P3,m,且sin
4
0,所以m0,且5
sin
m9m2
422
,从而25m169m,即m216,解得m4. 5
(2)由(1)知m4,P3,4,所以cos
33
,所以
5916
sin(2)cos()sincos1
cossin7. 3
sincos22
【点睛】本小题主要考查三角函数的定义,考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式,属于基础
题.
exaex
19.已知函数f(x)是奇函数,其中e是自然对数的底数.
2
(1)求实数a的值;
(2)若f(lgx)+f(-1)<0,求x的取值范围. 【答案】(1)1;(2)0,10
【解析】(1)函数fx的定义域为R,且为奇函数,所以f0
1a
0,解得a1. 2
1ex1ex1x
(2)由(1)得fxx,由于e,x都在R上递增,所以函数fxx在R
2e22e22e
上递增,根据fx为奇函数得flgxf1f1,所以lgx1,解得0x10.即不等式的解集为0,10.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性,考查函数的单调性,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.
20.已知a0,函数fx2asin(2x(1)求常数a,b的值; (2)设gxf(x
)2ab,当x[0,]时,5fx1. 62
2
)且lggx0,求gx的单调区间.
【答案】(1)a2,b5;(2)递增区间为(k,k递减区间为(k
6
),kZ;
,k),kZ.
63
71
],则sin(2x)[,1], 【解析】(1)由x[0,],所以2x[,
266662
所以2asin(2x
6
)[2a,a],所以fx[b,3ab],
b5
又因为5fx1,可得,解得a2,b5.
3ab1
(2)由(1)得fx4sin(2x则gxf(x
6
)1,
2
)4sin(2x
7
)14sin(2x)1, 66
又由lggx0,可得gx1,
1
)11,即sin(2x), 6625
,kZ, 所以2k2x2k
666
所以4sin(2x当2k
6
2x
6
2k
2
,kZ时,解得kxk
6
,kZ,
此时函数gx单调递增,即gx的递增区间为(k,k当2k
6
),kZ
2
2x
6
2k
5
,kZ时,解得kxk,kZ, 663
此时函数gx单调递减,即gx的递减区间为(k
,k),kZ.
63
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用,其中解答中根据三角函数的性质,求得函数的解析式,熟练应用三角函数的性质是解答的关键,着重考查推理与运算能力.属于中档题. 21.已知a为常数,二次函数fxxaxa3.
2
(1)若该二次函数的图象与x轴有交点,求实数a的取值范围; (2)已知fx4,求x的取值范围;
(3)若对任意的实数x2,4,fx0恒成立,求实数a的取值范围. 【答案】(1),26,;(2)答案见解析;(3),6. 【解析】(1)若该二次函数的图象与x轴有交点,则a4a30
2
∴a6a20, ∴a6或a2,
∴a的取值范围为,26,. (2)∵fxxaxa34,
2
∴x2axa10即x1xa10. 当a11即a2时,x10,解集为R; 当a11即a2时,x1或xa1, 当a11即a2时,xa1或x1. 综上,当a2时,不等式的解集为R;
2
当a2时,不等式的解集为,1a1,;
1,.
2
当a2时,不等式的解集为,a1
(3)若对任意的实数x2,4,fxxaxa30恒成立, 即ax1x3恒成立,
2
∵x2,4, ∴x11,3,
x23∴a.
x1min
设tx11,3,则xt1, ∴
x3
x1
2
t1
t
2
3
t
44
22t26. tt
当且仅当t
4
即t2取“=”,此时x3, t
x23∴a6,即a的取值范围为,6.
x1min
【点睛】此题考查一元二次不等式的解法,考查分类思想,考查一元二次不等式恒成立问题,考查基本不等式的应用,属于中档题
22.已知函数gx2ax4ax22ba0,在区间2,3上有最大值8,有最小值2,设
2
fx
gx2x
.
(1)求a,b的值; (2)不等式f2
k2
x
x
0在x1,1时恒成立,求实数k的取值范围;
2
30有三个不同的实数解,求实数k的取值范围. (3)若方程fe1kx
e1
x
【答案】(1)a1,b0;(2)k0;(3)k0 【解析】(1)gx2ax4ax22b(a0)
2
开口向上,对称轴为x1,
所以在2,3上单调递增,
因为gx在区间2,3上有最大值8,有最小值2,
8a8a22b2g22所以有,即
g3818a12a22b8
解得a1,b0
(2)gx2x4ax2,所以fx
2
gx1
x2, 2xx
x
因为x1,1,令t2,2
2
1
由不等式f(2)k20在x[1,1]时恒成立, 得ftkt0在t,2时恒成立,
xx
12
1121则t2kt,即k211 tttt
2
1111因为t,2,则,2,所以10 t22t
2
所以得k0.
x
(3)设me1,则方程f(e1)k(
x
2
3)0 x
e1
可转化为fmk
2
122
30,即m2k30
mmm
整理得m3k2m2k10
2
30要有三个不同的实数解, 根据me1的图像可知,方程fe1kx
e1
x
x
则方程m3k2m2k10
2
要有两个不同的实数根
一根在0,1之间,一根等于1,或者一根在0,1之间,一根在1,, 设hmm3k2m2k1
2
①一根在0,1之间,一根等于1时,
2k10h00
,即13k22k10, h10
3k23k2
0011
22
1
k2
解得k0,所以无解集
2
k03
②一根在0,1之间,一根在1,时,
12k0h00
,即,
h10k0
1
k解得2,所以k0.
k0
综上所述,满足要求的k的取值范围为k0.
【点睛】本题考查根据二次函数的最值求参数的值,换元法解决不等式恒成立问题,根据函数的零点个数求参数的范围,一元二次方程根的分布,属于难题.
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