(完整版)向量公式大全

2022-12-31 21:03:21 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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(圆满版)向量公式大全

向量公式

设 a=（ x， y），b=(x' ， y') 。 1、向量的加法

向量的加法知足平行四边形法例和三角形法例。 AB+BC=AC。

a+b=(x+x' ，y+y') 。 a+0=0+a=a 。

向量加法的运算律：互换律： a+b=b+a；

联合律： (a+b)+c=a+(b+c) 。 2、向量的减法

假如 a、 b 是互为相反的向量，那么 a=-b ，b=-a ，a+b=0. 0 的反向量为 0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量

实数λ和向量 a 的乘积是一个向量，记作λ a，且∣λ a∣ =∣λ∣ ?∣ a∣。当λ＞ 0 时，λ a 与 a 同方向；当λ＜ 0 时，λ a 与 a 反方向；当λ =0 时，λ a=0，方向随意。

当 a=0 时，对于随意实数λ，都有λ a=0。

注：按定义知，假如λ a=0，那么λ =0 或 a=0。

实数λ叫做向量 a 的系数，乘数向量λ a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞ 1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（λ＞ 0）或反方向（λ＜ 0）上伸长为本来的∣λ∣倍；

当∣λ∣＜ 1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（λ＞ 0）或反方向（λ＜ 0）上缩短为本来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法知足下边的运算律

联合律： ( λa) ?b=λ(a ?b)=(a ?λ b) 。

向量对于数的分派律（第一分派律）：( λ+μ)a= λ a+μa. 数对于向量的分派律（第二分派律）：λ (a+b)= λa+λ b. 数乘向量的消去律：① 假如实数λ≠ 0 且λ a=λ b，那么 a=b。② 假如 a≠0 且λ a=μ a，那么λ =μ。

3、向量的的数目积

定义：已知两个非零向量

a,b 。作 OA=a,OB=b,则角 AOB称作向量 a 和向量 b

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的夹角，记作〈 a,b 〉并规定 0≤〈 a,b 〉≤π

a?b。若 a、b 不定义：两个向量的数目积（内积、点积）是一个数目，记作

共线，则 a?b=|a| ?|b| ?cos 〈a，b〉；若 a、b 共线，则 a?b=+- ∣ a∣∣ b∣。

向量的数目积的坐标表示： a?b=x?x'+y ?y' 。向量的数目积的运算律 a ?b=b?a（互换律）；

( λ a) ?b=λ(a ?b)( 对于数乘法的联合律 ) ；（ a+b) ?c=a?c+b?c（分派律）；向量的数目积的性质 a ?a=|a| 的平方。

a ⊥ b 〈=〉a?b=0。 |a ?b| ≤|a| ?|b| 。

向量的数目积与实数运算的主要不一样样样点

1 、向量的数目积不知足联合律，即： (a ?b) ?c≠ a?(b ?c) ；比方： (a ?b)^2 ≠ a^2?b^2。

2 、向量的数目积不知足消去律，即：由 a ?b=a?c (a ≠0) ，推不出 b=c 。 3 、 |a ?b| ≠|a| ?|b|

4 、由 |a|=|b|，推不出 a=b 或 a=-b 。

4、向量的向量积

定义：两个向量 a 和 b 的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作 a×b。若a、b 不共线，则 a× b 的模是：∣a×b∣=|a| ?|b| ?sin 〈a，b〉；a×b 的方向是：垂直于 a 和 b，且 a、b 和 a× b 按这个序次组成右手系。若 a、b 共线，则 a× b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。 a × a=0。

a ‖ b〈 =〉 a× b=0。向量的向量积运算律 a × b=-b× a；

（λ a）× b=λ（ a×b）=a×（λ b）；（a+b）× c=a×c+b×c.

注：向量没有除法， “向量 AB/向量 CD”是没存心义的。向量的三角形不等式

1 、∣∣ a∣- ∣b∣∣≤∣ a+b∣≤∣ a∣+∣b∣； ① 当且仅当 a、b 反向时，左侧取等号； ② 当且仅当 a、b 同向时，右侧取等号。

2 、∣∣ a∣- ∣b∣∣≤∣ a-b ∣≤∣ a∣+∣b∣。 ① 当且仅当 a、b 同向时，左侧取等号； ② 当且仅当 a、b 反向时，右侧取等号。

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