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八、数形结合思想方法
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合一是一个数学思想方法，应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。
Ⅰ、再现性题组：
1. 设命题甲：0；命题乙：|x－2|<3，那么甲是乙的_____。 （90年全国文） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2. 若loga2b2<0，则_____。(92年全国理)
A. 0b>1 D. b>a>1 3. 如果|x|≤
π,那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文) 4
21 B. －21 C. －1 D. 12
A.
222
4. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5 5. 设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)|
y3＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么
M∪N等于
x2
_____。 (90年全国)
A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1 6. 如果θ是第二象限的角，且满足cos
θ－sinθ＝θ是_____。
1sinθ,那么
222
A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角
7. 已知集合E＝{θ|cosθθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tgθθ}，那么E∩F的区间是_____。
π,π) B. (π,3π) C. (π, 3π) D. (3π,5π) （93年全国文理）
4242445π，实部为－2
8. 若复数z的辐角为3，则z＝_____。
6
A. －23－2ｉ B. －23＋2ｉ C. －23＋23ｉ D. －23－23ｉ
22y9. 如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。 (90年全国理)
x
13 C. 3 D. A. B. 3
232
10. 满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。
A. (
【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。
Ⅱ、示范性题组： 例1. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。
3x03x0
【解】 原方程变形为 即：
22
x3xm3x(x2)1m
设曲线y1＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图像如图所示。由图
可知：① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3≤0,
∴ m＝1或－3≤0
22
y
4 y=1-m 1
O 2 3 x
【注】 方程解、不等式解集、函数性质等的讨论，借助于图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。
例2. 设|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求z1的值。
z2
y A D O B x
C
【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。
【解】 如图，设z1＝OA、z2＝OB后，则z1＝OC、z2＝OD如图所示。
5由图可知，|z1|＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠AOD
z2
2³5³2
5
2
222
4＝52(13)＝
5433∴ z1＝(±ｉ)＝2±ｉ
z2
2552
【注】 复数问题可利用几何意义而几何化。也可设复数的代数形式、三角形式转化成代数问题或三角
问题，还可直接利用复数性质求解。
例3. 直线L的方程为：x＝－
p (p>0),椭圆中心D(2＋p,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴22
为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等
于该点到直线L的距离？
【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。
【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A(
p,0)，设椭圆与双曲线 2
y22px…… p[x(2)]2
2y214
【注】 判别式法（注意解的范围）、定义法、数形结合法、转化思想、方程思想等知识综合运用。 例4. 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x＋y≤144}，讨论是否存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考)
【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ;
设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，
2
所以圆心到直线距离d＝|3n15|＝3(n21＋
2
22
2
222
4n1
2
)≥12
n1
2
∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。
【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法研究。此题也属探索性问题用数形结合法解。 Ⅲ、巩固性题组：
本文来源：https://www.wddqxz.cn/01ec432c11a6f524ccbff121dd36a32d7375c76b.html
2023-03-17
