第4课时——余弦定理(1)(教师版)

2023-02-19 12:32:15 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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第4课时余弦定理（1）

知识网络

三角形中的向量关系→余弦定理

学习要求

1．掌握余弦定理及其证明； 2．体会向量的工具性；

3．能初步运用余弦定理解斜三角形．

点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

【例2】A,B两地之间隔着一个水塘，现选，测得C

CA182m,CB126m,

求A,B两地之间的距离（精ACB630，

确到1m）．择

另

一

点

【解】由余弦定理，得

听课随笔

【课堂互动】

自学评价

1．余弦定理：

(1)a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，

c2a2b22abcosC.

222

(2) 变形：cosAbca，

2bc

AB2CA2CB22ACCBcosC

28178.18

所以，AB168(m)

答 A,B两地之间的距离约为168m．【例3】用余弦定理证明：在ABC中，当当C为钝角时，C为锐角时，a2b2c2；

a2b2c2．

【证】当C为锐角时，cosC0，由余弦定

理

，

得

a2c2b2，

cosB

2aca2b2c2

cosC

2ab

2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：

（１）已知三边，求三个角；

（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．

c2a2b22abcosCa2b2，

222

即 abc．

同理可证，当C为钝角时，abc 点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广．

2

2

2

【精典范例】

【例1】在ABC中，

0

（1）已知b3，c1，A60，求a；（2）已知a4，b5，c6，求A（精

0

确到0.1）．

【解】（1）由余弦定理，得，

所以 a7．（2）由余弦定理，得

追踪训练一

１．在△ＡＢＣ中，

（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７，求a；

（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．

略解：（1）a37 略解：（2）A

1

a2b2c22bccosA3212231cos6007

2 3

b2c2a2526242

cosA0.75

2bc256

，

所以，A41.4．

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２．若三条线段的长为５，６，７，则用这

AB2b2a22abcos1200

三条线段（Ｂ）

听课随笔

Ａ．能组成直角三角形Ｂ．能组成锐角三角形Ｃ．能组成钝角三角形

Ｄ．不能组成三角形３．在△ＡＢＣ中，已知a2b2abc2，试求∠Ｃ的大小．

略解：C

23

４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？

略解：两艇相距4.71km

【选修延伸】

【例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，

且a，b是方程x2

23x20的两根，

2cosAB1。

（1）求角C的度数；（2）求AB的长；

（3）求△ABC的面积。解：(1) cosCcos[AB]

cosAB

1

2

C1200

（2）因为a，b是方程

x223x20的两根，所以



ab23

ab2

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ab

2

ab10AB

10

（3）S13

ABC2absinC2

【例5】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，证明：

a2b2c2

sinABsinC。

证明：由余弦定理知：

a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB

则a2b2

b2a22bccosA2accosB，

整理得:

a2b2acosBbcosc2

A

c，

又由正弦定理得:

asinAc

sinC， bcsinB

sinC

，

a2b2sinAcosBcosAsinBc2

sinC



sinABsinC

追踪训练二

1．在△ABC中，已知b

2，c1，

B=450

，则a （ B ）

A 2 B

62

2

2