分式方程知识点归纳总结(整理)

2022-03-25 16:00:20   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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分式方程知识点归纳总结

1. 分式的定义:如果AB表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子

A

叫做分式。 B

1) 分式与整式最本质的区别:分式的字母必须含有字母,即未知数;分子可含字母可不含字母。 2) 分式有意义的条件:分母不为零,即分母中的代数式的值不能为零。 3) 分式的值为零的条件:分子为零且分母不为零

2. 分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变。

AACAAC其中ABC为整式(C0 用式子表示

BBCBBC

注:1)利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形,不改变分式值的大小,只改变形式。 2应用基本性质时,要注意C0,以及隐含的B0

3)注意“都”,分子分母要同时乘以或除以,避免只乘或只除以分子或分母的部分项,或避免出现分子、分

母乘除的不是同一个整式的错误。

3. 分式的通分和约分:关键先是分解因式

1) 分式的约分定义:利用分式的基本性质,约去分式的分子与分母的公因式,不改变分式的值。 2) 最简分式:分子与分母没有公因式的分式

3) 分式的通分的定义:利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母

的分式化成分母相同的分式。

4) 最简公分母:取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母,它叫做最简公分母。 4. 分式的符号法则

分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为

注:分子与分母变号时,是指整个分子或分母同时变号,而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。 5. 条件分式求值

1 整体代换法:指在解决某些问题时,把一些组合式子视作一个“整体”,并把这个“整体”直接代入另一个式

子,从而可避免局部运算的麻烦和困难。



11a3abb

4,则求 2)参数法:当出现连比式或连等式时,常用参数法。 例:已知 ab2a2b7ab



abc3a2b5c,则求 例:若 234abc



6. 分式的运算:

1)分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。 2)分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。

acacacadad

;bdbdbdbcbc anan

()n

3)分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 bb

4)分式乘方、乘除混合运算:先算乘方,再算乘除,遇到括号,先算括号内的,不含括号的,按从左到右的顺序运算

5)分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。

异分母的分式相加减,先通分,变为同分母分式,然后再加减

ababacadbcadbc, cccbdbdbdbd

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7. 整数指数幂. 1 任何一个不等于零的数的零次幂等于1 a1(a0) 2 任何一个不等于零的数的-n次幂(n为正整数),等于这个数的n次幂的倒数,即 a

n

0



()() 注:分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即

ab



n

3 科学计数法:把一个数表示为a×10(1≤∣a∣<10,n为整数)的形式,称为科学计数法。

n

注:(1)绝对值大于1的数可以表示为a×10的形式,n为正整数;

-n

2)绝对值小于1的数可以表示为a×10的形式,n为正整数.

3)表示绝对值大于10n位整数时,其中10的指数是n1

4)表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0) 4) 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n是整数)

1)同底数的幂的乘法:aaa

m

n

m

n

mn

b

n

a

n

1

a0) na

;(2)幂的乘方:(a)a

mnmn

;3)积的乘方:(ab)ab

nnn

4)同底数的幂的除法:aaa

mn

anan

( a0);(5)商的乘方:()n()(b0)

bb

8. 分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方程。

1) 增根:分式方程的增根必须满足两个条件:

1)增根是最简公分母为0;(2)增根是分式方程化成的整式方程的根。 2)分式方程的解法:

(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根.

注:解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。

分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。

3)烈分式方程解实际问题

1)步骤:审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案,检验时要注意从方程本身和实际问题两个方

面进行检验。 2应用题基本类型;

a.行程问题:基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.

b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法. c.工程问题 基本公式:工作=工时×工效. d. 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v v逆水=v静水-v 14植树问题

1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数

全长=株距×株数 株距=全长÷株数 15盈亏问题

(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数

(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数

(大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数 16相遇问题

相遇路程=速度和×相遇时间

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⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,⑶如果在非封闭线路的两端都不要植:

株数=段数+1=全长÷株距-1 全长=株距×(株数-1) 株距=全长÷(株数-1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那就这样:

,那么:

株数=段数-1=全长÷株距-1 全长=株距×(株数+1) 株距=全长÷(株数+1)

2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数=段数=全长÷株距

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相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 17追及问题

追及距离=速度差×追及时间 追及时间=追及距离÷速度差 速度差=追及距离÷追及时间 18流水问题

顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度-水流速度 静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2

水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2

19浓度问题

溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重

溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓

溶液的重量×浓度=溶质的重量 溶质的重量÷浓度=溶液的重量

20利润与折扣问题 利润=售出价-成本

利润率=利润÷成本×100%(售出价÷成本-1)×100% 涨跌金额=本金×涨跌百分比 折扣=实际售价÷原售价×100%(扣<1)

利息=本金×利率×时间 税后利息=本金×利率×时间×(120%)

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