双十字相乘法

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双十字相乘法

分解形如ax^2＋bxy＋cy^2＋dx＋ey＋f 的二次六项式 在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k） 目录

基本介绍

方法：双十字相乘的迁移 所以

基本介绍

方法：双十字相乘的迁移 所以 展开

编辑本段基本介绍 适用状况

双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解,常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题,若采用“双十字相乘法”,就能很容易将此类型的多项式分解因式。 例子

例：3x^2＋5xy－2y^2＋x＋9y－4＝（x＋2y－1）（3x－y＋4） (3x^2表示3X的二次方）

因为3＝1×3，－2＝2×（－1），－4＝（－1）×4，

而1×（－1）＋3×2＝5，2×4＋（－1）（－1）＝9，1×4＋3×（－1）＝1

编辑本段方法：双十字相乘的迁移


分解二次五项式

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0， 例：ab＋b^2＋a－b－2

＝0×1×a^2＋ab＋b^2＋a－b－2 ＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2） ＝（b＋1）（a＋b－2）

分解四次五项式

提示：设x^2＝y，用拆项法把cx^2拆成mx^2与ny之和。

例：2x^4＋13x^3＋20x^2＋11x＋2 ＝2y^2＋13xy＋15x^2＋5y＋11x＋2 ＝（2y＋3x＋1）（y＋5x＋2） ＝(2x^2＋3x＋1）（x^2＋5x＋2） ＝（x+1）(2x+1)（x^2＋5x＋2）

简单来说：

1.因式分解法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式． 例如，分解因式2x^2-7xy-22y^2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为 2x^2-(5+7y)x-(22y^2-35y+3)， 可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 即

-22y^2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解 编辑本段所以

原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕 =(x+2y-3)(2x-11y+1)．

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y^2+35y-3． 这就是所谓的双十字相乘法．


用双十字相乘法对多项式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax^2+bxy+cy^2，得到一个十字相乘图(有两列)； (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx． 2．求根法

我们把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如 f(x)=x^2-3x+2，g(x)=x^5+x^2+6，…，

当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0；

f(-2)=(-2)^2-3×(-2)+2=12．

若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a． 根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

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