2020年马其顿数学奥林匹克竞赛试题(无答案)

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2020年马其顿数学奥林匹克

高中组：

1.已知a,b为正整数p,q为素数,且p不能整除q-1,q|ab. 求证:q|a-b.

2.设实数x1,x2,,xn1,2n2. 证明:x1x2xnx1

p

p



2

xxn. 31

并证明,当前仅当x1,x2,,xn1,2,,1,2或(2,1,…,2,1)时,上式取等号.



3.△ABC中,三条内角平分线分别与对边BC,CA,AB交于点A1,B1,C1.过A1,B1,C1三点的圆Ω恰与BC切于点A1,与AC和AB分别再次相交于点B2,C2.证明:|AB|=|AC|或|AC1|=|AB2|.

4.设S为一个非空的有限集合,F为S的一些子集的集合,且满足: (i)F\{S}=

;



(ii)若F1,F2∈F,则F1∩F2∈F，F1∪F2∈F.

证明:存在a∈S,且它最多属于F中的一半元素.








初中组:

1.设S为所有满足n+1,n+3,n+4,n+5,n+6,n+8均为合数的正整数n组成的集合.

求最大的正整数k,使得对任意n∈S,集合{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5,n+6,n+7,n+8,n+9}中一定存在k个连续的合数.

2.正实数x,y,z满足xy+yz+zx=27.证明x+y+z≥3xyz并求取等条件.

3.在整数范围内解方程x23101.



4.等腰△ABC中,AB＝BC.在AC和BC上分别取点D,E,使得CD＝DE.设H,J,K分别为DE,AE,BD中点,过D,H,K的圆与AD交于F,过E,H,J的圆与BE交于G.过K作AC平行线与AB交于点I.证明IH,GF,JK共点.

5

y



5.设三角形T的所有顶点坐标均为整数,且它的三条边上恰好各有m个整点.若T的面积小于2020,求m可能的最大值.

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