求解神奇的六位数

2022-05-20 19:55:15 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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求一个6位数，它乘以2、3、4、5、6后仍是由原六位数的六个数字组成的六位数。

1. 设这个六位数 = A = abcdef，∵A乘以2~6仍然得到六位数，如果a ≥ 2,则乘积结果为七位数。

∴ a = 1。则A = 1bcdef。

1 2 3 4 5 6 1 2 3 2 4 6 3 6 9 4 8 12 5 10 15 6 12 18 4 8 12 16 20 24 5 10 15 20 25 30 6 12 18 24 30 36 7 14 21 28 35 42 8 16 24 32 40 48 9 18 27 36 45 54

2. 如果f = 0，则A = 1bcde0，e不能等于0，1，5，2，4，6，8（如果e = 偶数或5，则必有两个0），

如果e为3，由上表可知必出现0，1，3，6，9，2，5，8八个数字，矛盾。如果e为7，由上表可知必出现0，1，7，4，2，5，8七个数字，矛盾。如果e为9，由上表可知必出现0，1，9，8，7，6，5，4八个数字，矛盾。 ∴f ≠ 0。

3. 如果f为偶数2，4，6，8之一，∵ a = 1,为了使乘积结果为六位数。∴b ≤ 6，且b ≠ 0，1。则b

为2，3，4，5，6之一。

如果b为2，由上表可知A 乘以3必出现3，则有1，3，0，2，4，6，8七个数字，矛盾。如果b为3，由上表可知A 乘以2必出现3，则有1，3，0，2，4，6，8七个数字，矛盾。如果b为4，由上表可知A 乘以4必出现5，则有1，5，0，2，4，6，8七个数字，矛盾。如果b为5，由上表可知A 乘以2必出现3，则有1，3，0，2，4，6，8七个数字，矛盾。如果b为6，由上表可知A 乘以2必出现3，则有1，3，0，2，4，6，8七个数字，矛盾。 ∴f不能为偶数2，4，6，8

4. 如果f = 3，由上表讨论A 乘以2~6的乘积必出现1，3，6，9，2，5，8七个数字，矛盾。 5. 如果f = 5，则A乘以2~6必有0出现，∴bcde之中必有0。

如果e = 0，讨论A乘以2~6的乘积的百位的情况：此时A = 1bcd05，d ≠ 0, 1, 5 如果d为偶数2，4，6，8之一，由A 乘以5可知百位必有0重复出现，矛盾。

如果d为奇数3，7，9之一，由A 乘以5可知百位必有5重复出现，矛盾。∴e ≠ 0。同理，b，c，d也 ≠ 0。这和bcde之中必有0矛盾，∴f ≠ 5。

6. 如果f = 7，由上表可知必出现1，7，4，2，5，8六个数字，可能。 7. 如果f = 9，由上表可知必出现1，9，8，7，6，5，4七个数字，矛盾。

8. 综上所述，个位f只能为7，由A 乘以2~6可知这六个数字为1，4，2，5，8，7, 则A = 1bcde7。 9. 然后再推定b，c，d，e的顺序：由第3步知道b ≤ 6，则b为2，4，5之一。

如果b为2，由上表可知A 乘以3必出现3，和1，4，2，5，8，7矛盾。如果b为5，由上表可知A 乘以2必出现3，和1，4，2，5，8，7矛盾。 ∴b = 4，则A = 14cde7。

10. e为2，5，8之一：如果e为2，由上表可知A 乘以4必出现9，和1，4，2，5，8，7矛盾。

如果e为8，由上表可知A 乘以3必出现6，和1，4，2，5，8，7矛盾。∴e = 5，则A = 14cd57。 11. ∵ 148257×2 = 296514，∴ A = 142857。 12. 验证:

142857×2 = 285714 142857×3 = 428571 142857×4 = 571428 142857×5 = 714285 142857×6 = 857142